Comportamiento asintótico del propagador para un campo escalar

Cuando se discute la causalidad en el Capítulo 2 de Peskin & Schroeder, aparecen un par de ecuaciones que dan el comportamiento asintótico del propagador para un campo escalar:

$$\text{If} \,\, x^0-y^0=t, \, \, \mathbf{x-y} = 0 \Rightarrow D (x-y) = \frac{1}{4 \pi^2} \int_{m}^{\infty} dE \sqrt{E^2-m^2} e^{-iEt} \underset{t \to \infty}{\sim} e^{-imt}$$ $$\text{If} \,\, x^0-y^0=0, \, \, \mathbf{x-y} = \mathbf{r} \Rightarrow D (x-y) = \frac{1}{4 \pi^2 r} \int_{m}^{\infty} d\rho \frac{\rho\, e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^2 - m^2}} \underset{r \to \infty}{\sim} e^{-mr}$$

No puedo ver cómo se derivan estos comportamientos asintóticos (no tengo ningún problema en derivar las expresiones integrales exactas, pero luego me quedo atascado). Todo lo que pude hacer fue reescribir la primera integral de la siguiente manera:

$$D (x-y) = \frac{1}{4 \pi^2} \int_{m}^{\infty} dE \sqrt{E^2-m^2} e^{-iEt} = \frac{m}{4 \pi^2 i t} K_1(imt)$$

usando este artículo sobre funciones de Bessel modificadas del segundo tipo. Pero revisando con Mathematica, esto desaparece por$t \to \infty$. Para la segunda integral no tengo ni idea, ¡así que cualquier ayuda sería más que bienvenida!

Pregunta adicional (pero relacionada):

En la primera discusión del capítulo aparece algo similar

$$U(t) = \frac{1}{2 \pi^2 | \mathbf{x - x_0} | } \int_{0}^{\infty}dp\,p\, \sin (p | \mathbf{x - x_0} | ) e^{-it \sqrt{p^2 + m^2}}$$

¿Se obtiene esto también a través de un procedimiento similar?