Solución de la ecuación de Dirac: polarizaciones arbitrarias

En mis notas de clase (firma$-+++$) encontramos las soluciones libres de la ecuación de Dirac. Procedemos de esta manera:

Ecuación de Dirac:

$$(i\,\displaystyle{\not} p +m)\psi(x) = 0$$

Hacemos el siguiente ansatz:

$$\psi_p(x) \sim \omega(p) e^{ip\mu x^\mu}$$

con la polarización

$$\omega(p) = \left( \begin{array}{c} w_1(p)\\ w_2(p)\\ w_3(p)\\ w_4(p)\\ \end{array} \right)$$

Para una partícula en reposo:$p^\mu=(E,0,0,0)$, insertando el ansatz obtenemos

$E\, \omega(p) = m\beta\, \omega(p)$ $\, \, \,$con$\beta = i \gamma^0 = \,\left(\begin{matrix} \mathbb{1}_2 & 0 \\ 0 & -\mathbb{1}_2 \end{matrix}\right)$

por lo tanto

$$E \,\omega(p) \, = \, \left(\begin{matrix}m & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -m & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -m\end{matrix}\right) \omega(p)$$

Luego dice que tenemos dos soluciones.$\psi_{1,2}$para la energía positiva$E=m$y dos soluciones$\psi_{3,4}$para la energía negativa, que son

$\psi_1(x) \sim \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) e^{-imt} \, ;\quad \psi_2(x) \sim \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) e^{-imt} \, ;\quad \psi_3(x) \sim \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right) e^{imt} \, ;\quad \psi_4(x) \sim \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right) e^{imt}$

Ahora, lo que no entiendo es la elección de las polarizaciones, ¿es arbitraria o se deriva de algo en la discusión anterior? ¿Por qué tienen esa forma?

Gracias de antemano por cualquier respuesta, sé que esto puede ser una pregunta estúpida, pero simplemente no lo entiendo.

Y otra pregunta, porque$\omega$se llama polarización? ¿Está relacionado con la polarización de una onda electromagnética?