Autoenergía de electrones en QED en calibre arbitrario

No es necesario introducir la masa ficticia del fotón: la regularización dimensional se puede utilizar tanto para las divergencias IR como para las divergencias UV.

Primero, use identidades de matrices gamma,

$$\gamma_{\mu}\gamma^{\alpha}\gamma^{\mu} = (2 - d)\gamma^{\alpha} ,\quad [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]_{+} = 2g_{\mu \nu}, \quad g_{\mu}^{\mu} = d$$ y haz lo simple que has reclamado: obtendrás (aquí he denotado $\epsilon = 1 - \eta$, dónde $\eta$es parámetro de calibre) $$-M^{4 - d}q_{e}^{2} \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} +$$ $$+ \epsilon M^{4 - d}q_{e}^{2} \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\left( \frac{k\!\!\!/ (p^{2} - m^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \frac{k\!\!\!/}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}}\right) .$$ El último sumando se desvanece como función antisimétrica de $k$integrado sobre límites simétricos. Como puede ver, los términos calibre no contribuyen a la masa, $\delta m_{\epsilon} = 0$, porque la corrección de masa se calcula sobre la capa de masa $p\!\!\!/ = m, p^{2} = m^{2}$.

En cuanto al siguiente paso, debe introducir los parámetros de Feynman:

$$\frac{1}{(k^{2} + i\varepsilon )^{n}((p-k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} =$$ $$=n\int \limits_{0}^{1}\frac{x^{n - 1}dx}{((k - p(1 - x))^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{n + 1}}.$$ Después de eso, debes hacer un cambio. $k \to k + p(1 - x)$. Finalmente, después de despreciar lineal en k términos, su resultado previo debería verse como $$-M^{4 - d}q_{e}^{2}\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} (2 - d)p\!\!\!/\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}$$ $$-M^{4 - d}q_{e}^{2}dm\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}} +$$ $$M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon (p^{2} - m^{2})\frac{\Gamma \left( 3 - \frac{d}{2} \right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2} }} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{3 - \frac{d}{2}}}-$$ $$- M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon(p\!\!\!/ - m)\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}.$$ En el tercer sumando puedes establecer $d = 4$, mientras que en el otro puedes usar identidad (no olvides hacer que el denominador sea adimensional usando $M$) $$\frac{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2} \right)}{(2 \pi )^{d}}\frac{1}{X^{2 - \frac{d}{2}}} \approx \frac{1}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left( \frac{1}{4 - d} - C + ln(4 \pi ) - ln(X)\right),$$ dónde $C$es la constante de Euler. El resultado de estas manipulaciones son integrales finitas parametrizadas por $4 - d = \gamma$y $\mu$.