¿Relación entre la antipartícula y el conjugado de Dirac? símbolo de barra

La notación de barra es necesaria para que todas las cantidades anteriores a Lorentz sean invariantes. En resumen, la relación entre las cantidades barradas y los conjugados de carga de los fermiones tiene que ver con tomar el conjugado hermitiano de los operadores de creación/aniquilación.

Centrémonos por ahora en una teoría libre de Fermiones. Un fermión de Dirac se puede escribir como la siguiente solución a la ecuación de Dirac

$$\psi(x) = \sum_{s \pm}\int\tilde{dp}\big[ a_s(\textbf{p})u_s(p)e^{ip\cdot x} + b_s^{\dagger}(\textbf{p})\nu_s(p)e^{-ip\cdot x}\big] \\ \bar{\psi}(x) = \sum_{s \pm}\int\tilde{dp}\big[ a^{\dagger}_s(\textbf{p})\bar{u}_s(p)e^{ip\cdot x} + b_s(\textbf{p})\bar{\nu}_s(p)e^{-ip\cdot x}\big]$$ dónde$\tilde{dp}$es una medida invariante de Lorentz y$u_s(p)$y$\nu_s(p)$son espinores de cuatro componentes $$u_s(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot \sigma} \;\xi^s \\ \sqrt{p\cdot \bar{\sigma}} \;\xi^s \end{pmatrix};\; \nu_s(p) =\begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot \sigma} \;\eta^s \\ -\sqrt{p\cdot \bar{\sigma}} \;\eta^s \end{pmatrix};\; \overset{(-)}{\sigma_{\mu}} = (\mathbb{1}, \pm \vec{\sigma})$$ correspondientes a los espinores fermion y antifermion.$a^{(\dagger)}_s(\textbf{p})$y$b^{(\dagger)}_s(\textbf{p})$son operadores de aniquilación (creación) que pueden actuar sobre el Vacío $$a_s(\textbf{p})|0\rangle = b_s(\textbf{p})|0\rangle = 0 \\ a^{\dagger}_s(\textbf{p})|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2E_{\textbf{p}}}}|\textbf{p},s\rangle_{\text{ferm}};\; b^{\dagger}_s(\textbf{p})|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2E_{\textbf{p}}}}|\textbf{p},s\rangle_{\text{anti-ferm}};$$ La conjugación de carga es una simetría que se manifiesta en algunas teorías de interés fenomenológico (y en otras que no). Por lo tanto, la conjugación de carga es un operador que conmuta con ese hamiltonión y, por lo tanto, es un número cuántico para estados en el espacio de Hilbert.

Para un estado general se tiene$\mathcal{C}|\phi\rangle = \eta_C|\phi^c\rangle$por algún campo$\phi(x)$. Por lo tanto, si queremos hacer una conjugación de carga en algún estado, basándonos en cómo actúan los operadores de creación en el vacío, lo que queremos es

$$\mathcal{C}^{-1}a_s(\textbf{p})\mathcal{C} = b_s(\textbf{p})$$ y viceversa. Resulta que la carga conjugada del operador de campo de fermiones de Dirac es $$\mathcal{C}^{-1}\psi(x)\mathcal{C} = \psi^c(x) = \eta_cC\bar{\psi}^T(x).$$ Notando lo siguiente de Srednickie pg 245 $$C\bar{u}_s(p)^T = \nu_s(p);\; C\bar{\nu}_s(p)^T = u_s(p)$$ Se obtiene $$\psi^c(x) = \sum_{\pm}\int\tilde{dp}\big[ b_s(\textbf{p})u_s(p)e^{ip\cdot x} + a_s^{\dagger}(\textbf{p})\nu_s(p)e^{-ip\cdot x}\big].$$ ahora ambos$\bar{\psi}$y$\psi^c$son diferentes operadores de campo. Pero piense en cómo actúan ambos operadores en el vacío para esta teoría libre de Fermion.

Para mí al menos así es como yo lo veo. Cuando la gente habla de antiquarks o algo así con expresiones que parecen$\bar{u}(x)\gamma^{\mu}u(x)$, simplemente lo considero un "abuso de notación" para dar sentido físico a la cantidad que estamos viendo. En cierto modo, están hablando de las cantidades "bar'ed" con respecto a cómo actúa el operador Fermion libre correspondiente en el vacío.

La confiabilidad de este razonamiento físico radica en la confiabilidad de una expansión perturbativa de alguna teoría interactiva sobre campos libres. Estrictamente hablando, en teorías fuertemente acopladas (o incluso en algo como QED de baja energía si eres purista), este tipo de argumento físico no tiene una base rigurosa.

Espero haber respondido a tu pregunta. Demonios, espero estar entendiendo esto bien. Así es como siempre lo he entendido.