¿Cómo derivar el propagador de partículas libres en 2D?

Estoy tratando de derivar la siguiente expresión del propagador de partículas libres en 2D, dada por

ρ 0 ( r , r ′ , β ) = ⟨ r ′ | mi − β H ^ | r ⟩ = 1 4 π β mi − ( r − r ′ ) 2 4 β
dónde H ^ = − ∇ r 2 es el hamiltoniano de partículas libres en 2D, y donde asumimos ℏ 2 2 metro = 1 .

En un primer intento, intenté asumir la invariancia rotacional de la función de onda. ψ ( r , θ ) = 1 2 π R ( r ) (por lo tanto, solo considerando soluciones de onda s), lo que da soluciones de la ecuación de Schroedinger en forma de funciones de Bessel de orden cero. Desafortunadamente, no puedo reconciliar estos resultados con la ecuación anterior.

Respuestas (1)

también has tomado β = i t / ℏ . Las dos partes cartesianas del problema no se comunican, por lo que se factorizan. ¿Por qué, demonios, irías a las coordenadas polares?

Su respuesta es una transformada gaussiana de Fourier 2D trivial, ¡así que el mero producto de dos propagadores 1D completamente desconectados!

ρ 0 ( r , r ′ , β ) = ⟨ r ′ | mi − β H ^ | r ⟩ = ⟨ r ′ | mi − β H ^ ∫ d k   | k ⟩ ⟨ k | r ⟩ = ∫ d k   mi i k ⋅ ( r ′ − r ) 4 π 2 mi − β k 2 = 1 4 π β mi − ( r − r ′ ) 2 / 4 β ∴

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