¿Cómo concluir que una interacción es atractiva a partir de su transformada de Fourier (representación del espacio de impulso)?

Antecedentes: en el libro de Altland y Simons, Teoría del campo de la materia condensada, en el ejercicio 4.5.7, se supone que se debe usar el método de la teoría del campo efectivo para integrar el campo de fonones en un sistema de interacción electrón-fonón y encontrar un electrón-fonón atractivo. interacción de electrones.

La forma encontrada para la acción efectiva es

S En t = − γ 2 metro ∑ q , ω q 2 − ω 2 + q 2 ρ − q ρ q
dónde γ > 0 es una constante de acoplamiento, metro la masa del electrón, q = | q | es impulso, ω frecuencia y ρ es la densidad de electrones.

Ahora Altland y Simons escriben que cuando ω < q la interacción es atractiva. Sin embargo, no estoy seguro de cómo sacar esta conclusión, ya que la acción está en forma de espacio de momento, es decir, tenemos su transformada de Fourier. No puedo pensar en una razón intuitiva obvia por la que debería haber una relación entre el signo de una función y el signo de su transformada de Fourier. Tal vez hay uno y no puedo verlo, o ¿hay un principio más sofisticado en el trabajo aquí?

Encontré en Google algo llamado teorema de Bochner que da una condición para que una función sea la transformada de Fourier de una función positiva. Pero no recuerdo haber visto este teorema mencionado en un texto de física.

Eche un vistazo al libro de Anthony Zee: QFT en pocas palabras . Él explica por qué las interacciones mediadas por partículas de espín 1 son repulsivas para cargas similares y atractivas para cargas diferentes, mientras que son al revés para los mediadores de espín 0 o espín 2.
Recuerdo haber visto este argumento, y podría ser del libro de Zee. Lo comprobaré de nuevo, pero no creo que sea tan sencillo. El campo de fonones está integrado, por lo que en esta acción no hay un campo de mediación. Además, Zee podría asumir la invariancia de Lorentz, pero no creo que este problema sea invariante de Lorentz.

Respuestas (3)

De hecho, no hay relación entre el signo de un potencial y el signo de su transformación de Fourier. Pero, ¿por qué deberíamos preocuparnos por esto?

En la teoría de campos, el criterio es muy simple, una interacción es atractiva si su coeficiente (en el hamiltoniano) es negativo, y es repulsiva si su coeficiente es positivo. De acuerdo con este criterio, la conclusión de Altland y Simons es directa.

Creo que su confusión puede surgir de la imagen de la mecánica clásica, en la que una interacción atractiva es un potencial que crece con la distancia entre partículas, de modo que las fuerzas entre las partículas se apuntan entre sí de forma atractiva. Pero aquí, en el espacio de frecuencia-momento, no vemos la noción de "distancia entre partículas" ni ninguna señal del "crecimiento" de la energía potencial. Ni siquiera sabemos cuál es la "fuerza" entre partículas, entonces, ¿cómo podemos juzgar si la interacción es atractiva o no? Debido a que el concepto de "fuerza" ha sido descartado en la teoría de campos, el atractivo se define de manera diferente en el contexto de la teoría de campos. La energía en cambio la fuerza se convierte en nuestro criterio. Si la energía de interacción disminuye con el cuadrado de la densidad de partículas, entonces sabemos que la interacción debe ser atractiva de modo que las partículas puedan ganar energía al juntarse. Entonces de la expresión ρ − q ρ q es la densidad al cuadrado, por lo que con solo mirar el signo del coeficiente frente a él, podemos saber si la interacción es atractiva o no.

Sí, precisamente porque no existe la noción de distancia física en el espacio de impulso, es por eso que dudo en sacar la conclusión. Sin embargo, creo que lo que estás diciendo es si ρ † A ρ aparece donde A es pos/neg definido en el espacio de cantidad de movimiento, entonces A también es pos/neg definido en el espacio real, y de esto podemos sacar conclusiones. Todavía estoy un poco indeciso acerca de esto porque podrías encontrar una energía de interacción definida positiva en el espacio real que no sea mínima a 0 distancia. Por ejemplo, algo como ϕ ( X ) ( ( X − y ) 4 − ( X − y ) 2 + 3 ) ϕ ( y ) .
Sin embargo, para el caso de la pregunta, se podría ampliar, cuando ω ≪ q , a primer orden q 2 q 2 − ω 2 ≈ 1 + ω 2 q 2 que está en el espacio real es un ϕ 4 y algo similar a una interacción de Coulomb y la conclusión sigue. Tu respuesta me hizo pensar en esto. Anteriormente había intentado transformar el núcleo de Fourier y aplicar el teorema de convolución, pero no soy lo suficientemente bueno con las transformaciones.
@RobinEkman No, olvídate de cualquier cosa en el espacio real, es totalmente irrelevante. El signo de A en un momento particular no nos dice nada sobre el signo de A en el espacio real. Incluso si A es positivo en el espacio real, e incluso si A tiene un máximo local a una distancia de 0, aún podemos decir que la interacción es atractiva en algún momento y frecuencia particulares. Y este es el punto de hecho: la interacción electrón-electrón es repulsiva en el espacio real, pero en el espacio de momentos, ¡la misma interacción puede ser atractiva en algún momento particular!

En primer lugar: ¿estamos seguros de que el numerador es q^2? Creo que el hamiltoniano BCS da q/(q^2-omega^2). De lo contrario, no será cero en q->infinito. Asumiré eso.

He estado pensando en el mismo problema exacto por un tiempo. Mi conclusión en curso es esta: esta expresión en el espacio q (espacio de momento relativo) está decreciendo monótonamente en valor absoluto, por lo que su transformada de Fourier (interacción espacial real) también está "localizada" (esto solo funciona si "difuminas" ese infinito en omega=q con una pequeña parte imaginaria).

Entonces, si es localizado y negativo, significa que crece monótonamente a medida que x aumenta, donde x es la coordenada relativa. Por otro lado, si es positivo, entonces disminuye.

¿Tiene sentido?

PD: escribir en el espacio de frecuencia-momentum no debería ser un problema para interpretar el concepto de atractivo y repulsivo. Es una mera elección de representación matemática y no afecta cómo resultan las fuerzas. La forma correcta de interpretar esto no es pasar a la física clásica, sino analizar el movimiento relativo de los paquetes de ondas. Aprendí a distinguir estos dos pensando en los excitones en un cristal y la diferencia entre los excitones de Frenkel y Wannier.

No creo que esta sea una declaración espacial real. La declaración precisa es: cuando tienes un par partícula-agujero con impulso q → y otro par partícula-agujero con el impulso opuesto (revisar la definición de ρ , verán que representa un par partícula-agujero), cuando el fonón de intercambio tiene una frecuencia menor que ese impulso, la interacción efectiva entre estos dos pares partícula-agujero es atractiva, porque el hamiltoniano aparece en la acción (tiempo imaginario) tal como mismo y ahora es negativo.

Intuitivamente, un electrón viaja por un ion y polariza la red localmente, pero la excitación de la red, que es el fonón, vibra tan lentamente que ve pasar el segundo electrón después de que el primer electrón se va, y porque la interacción entre el electrón y el ion es atractivo, el segundo electrón siente efectivamente la atracción del primero.

¿Cómo concluir que una interacción es atractiva a partir de su transformada de Fourier (representación del espacio de impulso)?
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