¿Modo Goldstone como onda de espín en 2D?

Estoy tratando de entender cómo los modos Goldstone destruyen el orden de largo alcance en la red de giro 1D y 2D. Empecé con una cadena de espín, usando un modelo XY 1D, que tiene simetría continua.$H=- \sum_{<i j>} J_{ij}\; \cos(\theta_i-\theta_j)$sin campo externo.

Si hay una onda de espín en esta cadena, media longitud de onda destruirá la magnetización. El costo de la energía será$\Delta E=(-J\cos(\frac{\pi}{N})+J)N$. Como$N\rightarrow \infty$,$\Delta E\rightarrow 0$. Así que no importa cuán baja sea la temperatura, este modo destruirá la magnetización espontánea.

Pero tengo problemas para entenderlo en 2D. La construcción más fácil es simplemente poner$N$cadenas juntas, y el costo de la energía se multiplicará por$N$:$\Delta E=(-J\cos(\frac{\pi}{N})+J)N^2$. Pero esta vez como$N\rightarrow \infty$,$\Delta E\rightarrow \frac{\pi^2}{2}J$. Así que si$k_BT\ll\frac{\pi^2}{2}J$, este modo no puede existir y ocurrirá una magnetización espontánea. Probé otras construcciones posibles, como una onda giratoria en dirección diagonal, que no funciona. También observé los vórtices en el modelo XY, los 4 giros en el centro del costo del vórtice$4J$y creo que sumando sobre otros bonos el costo total será igual o mayor que$\frac{\pi^2}{2}J$. Estoy pensando si es posible destruir la magnetización con menos energía que$\frac{\pi^2}{2}J$. Pero el teorema de Mermin-Wagner establece que el modo Goldstone con energía cero destruirá el estado ordenado, por lo que debe haber algo que me estoy perdiendo. Traté de encontrar una ilustración de este modo, pero la búsqueda de "onda de espín 2D" o "modo Goldstone 2D" solo devuelve cálculos o experimentos. Así que me pregunto cómo se ve, ¿cuál es exactamente la alineación de los giros?