Ley de conservación del color actual en las teorías de Yang-Mills

Creo que hay un poco de confusión en cómo estás escribiendo la ecuación de movimiento.

TL; DR : la corriente que se usa generalmente para la conservación de las corrientes de color es la corriente de quark , es decir, la que se refiere a la componente de materia del lagrangiano (en oposición a la parte del campo de gluones ). Esta corriente no es la misma corriente que obtendría del teorema de Noether. Y técnicamente, el teorema de Noether solo se aplica a las simetrías globales, lo que no es el caso de QCD.

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La ecuación de movimiento para el campo de gluones.$F^a_{\mu\nu}$es:

$$\tag{1} \partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) + f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) = - \color{red}{j}^a_\nu(x),$$ donde la minúscula$j$se utiliza para las corrientes de materia , en este caso las corrientes de color de los quarks: $$j^a_\nu(x)= \bar\psi(x)\gamma_\nu T_a \psi(x) = \bar \psi\gamma_\nu \frac{\lambda_a}{2}\psi,$$ dónde$T^a$son los generadores de$SU(3)$y$\lambda_a$las matrices de Gell-Mann.

Ahora.

En la ec. 1, trae el$f_{abc}...$bit en el RHS y obtienes:

$$\tag{2} \partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) = - f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) - \color{black}{j}^a_\nu(x) = \color{red}{J}^a_\nu(x).$$

Ahora esto$J^a_\mu = - f_{abc}A^\mu_bF^c_{\mu\nu}(x) - \color{black}{j}^a_\nu(x)$es:

• La corriente que aparece en forma diferencial: $$\partial^\mu F^a_{\mu\nu}(x) = \color{black}{J}^a_\nu(x) \quad \leftrightarrow \quad \mathrm{d}F = J$$
• Esta corriente es la corriente "Noether". El (primer) teorema de Noether solo se aplica a simetrías globales , mientras que QCD es una simetría local.$SU(3)$simetría por lo que el formalismo de Noether no se aplicaría estrictamente hablando con tanta fuerza.
  Pero si asumiste un lagrangiano de Yang-Mills $$\mathcal{L}_{\text{YM}} = \mathcal{L}_{\text{field}} + \mathcal{L}_{\text{matter}}$$ y aplicar la fórmula habitual para la corriente de Noether $$J^\mu = \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta(\partial_\mu \varphi_i)}\delta \varphi_i,$$ obtendrías: $$J^\mu \propto \delta \mathcal{L}_{\text{YM}} \propto \delta\mathcal{L}_{\text{field}} + \delta\mathcal{L}_{\text{matter}},$$ es decir, dos cosas, que corresponden a los dos bits en$J^a_\mu$por encima de las viñetas.
  
  Y, muy bien, confirmamos que la corriente asociada con la parte de la materia del Yang-Mills Lagrangian es de hecho$j^a_\mu$como habíamos mencionado al principio de la respuesta.
  
  Partiendo del teorema de Noether, esto$J^\mu$también se conserva según: $$\partial_\mu J^\mu = 0.$$

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Entonces, volviendo al asunto actual$j^a_\nu$. ¿Se conserva "covariantemente"?

Afortunadamente, podemos comenzar de la forma eq. 1 y usamos la derivada covariante:

$$D^{ab}_\mu = \delta^{ab}\partial_\mu + f_{abc}A^{c}_\mu$$ para reescribir la ec. 1 como: $$D^\mu F^a_{\mu\nu} = -j_\nu^a(x),$$ entonces lo mismo que tu tercera ecuación pero con minúsculas$j$es decir, la materia corriente (quarks).

Y, como usted mismo ha demostrado, termina con:

$$D_\mu j^\mu_a =0,$$ entonces sí, la materia actual se conserva "covariantemente".

Pero ahora puedes decir "¿y si escribo$D^\mu$como$\partial^\mu + \dots$, donde entonces$\partial^\mu j^a_\mu =0$y me quedo con el otro bit".

La justificación de$\partial^\mu j^a_\mu =0$sería otro teorema de Noether pero sólo aplicable a la materia parte del lagrangiano. Entonces, si solo considera ese bit, entonces asegúrese de estar contento con$\partial^\mu j^a_\mu =0$dándole la conservación de las corrientes de color.

Pero si desea incorporar la derivada covariante, también debe considerar la parte del campo de calibre del lagrangiano y luego considerar el$J^\mu$corriente "completa" discutida anteriormente.

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Y según su conexión GR al final, tenga en cuenta que GR no es una teoría de Yang-Mills, por lo que no puede establecer paralelismos tan fácilmente entre los dos. Sin embargo , vea el final de esta respuesta para una discusión más cuantitativa sobre este punto.