En 3D N=2N=2{\cal N}=2 SUSY, el multiplete lineal contiene una corriente global. ¿Cómo se relaciona esto con el campo de calibre?

Un multiplete lineal se define como$\Sigma=\epsilon^{\dot{\alpha}\beta}\bar{D}_{\dot{\alpha}}D_{\beta}V$dónde$V$es el vector multiplete correspondiente a una simetría de calibre U(1).

No tiene "índices punteados" para las representaciones del grupo de Lorentz en$d=3$(dado que el álgebra (real) de Lorentz es$\mathfrak{sl}(2)$o$\mathfrak{su}(2)$para el espacio-tiempo Minkowskiano/Euclidiano respectivamente). Además, la definición es válida para cualquier vector potencial de simetría de calibre, no solo$\mathsf{U}(1)$.

¿Qué tipo de corriente es esta y qué tiene que ver con la simetría de calibre U(1) del vector multiplete V Σ está construido?

Cuando reduce la$d=4,\mathcal{N}=1$teoría a$d=3,\mathcal{N}=2$(el punto crucial es que usted tiene$4$generadores de SUSY en ambas teorías) el vector superpotencial se descompone como

$$\begin{equation} V=-i\theta\bar{\theta}\sigma -\theta\gamma^i\bar{\theta} A_i+i\theta^2\bar{\theta}\bar{\lambda}-\bar{\theta}^2\theta\lambda +\frac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2 D,\end{equation}$$ dónde $\sigma$es ahora un campo escalar (Lorentz) que corresponde a la componente de la $d=4$campo vectorial en la dirección reducida. el escalar $\sigma$puede tomar un VEV que rompe el grupo de calibre a su toro máximo $\mathsf{U}(1)^{\operatorname{rank}\mathfrak{g}}$(topológicamente esto es $(\mathbb{S}^1)^r$, es decir, un $r$-torus), por lo que a cada factor abeliano se le puede asociar un campo estrés-energía $F^i$. Para simplificar, tomemos el caso de un solo factor abeliano y llamemos $F_{ij}$la intensidad de campo correspondiente, que es un álgebra de Lie valorada $2$-forma, luego en $d=3$la estrella de Hodge lo asignará a un álgebra de Lie valorado $1$-forma, que es cerrada (ecuaciones de Maxwell), por lo tanto localmente exacta, podemos introducir un campo escalar $\gamma$y escribir (localmente) $$\begin{equation} \phi:= \sigma+i\gamma,\quad \star_3F=d\gamma, \end{equation}$$ $\gamma$se conoce como el fotón escalar dualizado. Ahora el punto crucial es que su carga está cuantificada, es decir $$\begin{equation} q=\frac{1}{2\pi}\int F\in\mathbb{Z}, \end{equation}$$ Por lo tanto, la $\gamma$campo es compacto, es decir, $\phi$y $\phi+2\pi i$deben ser identificados, o de manera equivalente, la acción es invariable con un cambio de $\gamma$por $2\pi\mathbb{Z}$: a esto lo llamamos simetría $\mathsf{U}(1)_{\scriptscriptstyle\rm J}$o simetría topológica. Como puedes ver desde $d\star_3F=0$, $J\sim\star_3F$es el generador de la $\mathsf{U}(1)_{\scriptscriptstyle\rm J}$simetría global, con carga conservada $\sim q$(los factores de proporcionalidad precisos dependen de sus definiciones). Definición $$\begin{equation} \Sigma=-\frac{i}{2}\epsilon^{{\alpha}\beta}\bar{D}_{{\alpha}}D_{\beta}V, \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} 2\pi J=\sigma+\dots+\frac{1}{2}\theta\gamma^i\bar{\theta}(\star_3F)_i. \end{equation}$$

Intente consultar los apéndices A y B de este artículo https://arxiv.org/abs/1406.6684 para obtener una explicación más detallada.