La solución de la ecuación de Klein-Gordon no admite interpretación de probabilidad

Consideremos las soluciones ψ de la ecuación de Klein-Gordon:

( ∂ 2 ∂ t 2 − Δ + metro 2 ) ψ ( X ) = 0
y definir:
ρ = i 2 metro ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ t − ∂ ψ ∗ ∂ t ψ ) y j = − i 2 metro ( ψ ∗ ∇ ψ − ∇ ψ ∗ ψ )
Entonces, con un poco de álgebra se puede demostrar que se cumple la siguiente ecuación de continuidad:
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0

Pregunta: Escuché que debido a que la ecuación de continuidad anterior tiene soluciones positivas y negativas, las soluciones de la ecuación de Klein-Gordon no tienen una interpretación probabilística. ¿Porqué es eso? Más precisamente, ¿cuál es la conexión entre las interpretaciones probabilísticas y las ecuaciones de continuidad? ¿Tiene algo que ver con el Teorema de Noether?

Verifique "cuantificación canónica" y "Mar de Dirac", esas palabras clave deberían llevarlo a algún lado ...

Respuestas (2)

Simplemente no tiene sentido hablar de probabilidad negativa. Bajo el marco axiomático general de probabilidad, llamado los axiomas de probabilidad de Kolmogorov , el primer axioma es la no negatividad.

¿Qué significaría decir que hay un − 20 % probabilidad de encontrar una partícula en la región X ∈ [ X 1 , X 2 ] sobre la medida de su posición? ¡Exacto, nada!

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La descripción del problema por parte del OP es un poco confusa, por lo que aclararía aquí la descripción que tengo en mente del problema.

Se puede encontrar que la definición de una densidad de probabilidad asociada con las funciones de onda que satisfacen las ecuaciones de KG y admiten una ecuación de continuidad es

ρ = i 2 metro ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ t − ψ ∂ ψ ∗ ∂ t )
con la ecuación de continuidad
∇ ⋅ j → + ∂ ρ ∂ t = 0
dónde
j → = 1 2 metro i ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ )

Dado que la ecuación de KG es una ecuación de segundo orden, uno puede elegir libremente la ∂ ψ ∂ t como parte de la condición inicial, y por lo tanto, no hay nada que asegure que la supuesta densidad de probabilidad ρ es no negativo. Además, incluso si comienza con condiciones iniciales cuidadosamente seleccionadas que conducen a una densidad de probabilidad inicial no negativa, las ecuaciones de KG pueden hacer que el sistema evolucione hasta tal estado que las densidades de probabilidad se vuelvan negativas. Mira, esta vieja pregunta mía .

¡Gracias por tu respuesta! Supongo que la intención de mi pregunta es aclarar la conexión entre ρ y ψ . Quiero decir, la declaración es "porque ρ no es necesariamente positivo, entonces ψ no tiene interpretación probabilística". Pero, ¿por qué uno implica al otro?
@MathMath Buen punto, no, la densidad de probabilidad no es | ψ | 2 aquí. Es el i / 2 metro ( . . . ) expresión que anoté. La razón de por qué es la densidad de probabilidad y no | ψ | 2 es porque no se puede encontrar una corriente de densidad de probabilidad que satisfaga la ecuación de continuidad si se tomara | ψ | 2 como la densidad de probabilidad.

El teorema de Noether nos dice que existe una ecuación de continuidad correspondiente a cualquier simetría que tenga el sistema. Para la ecuación de Schrödinger, la simetría de fase global corresponde a una ecuación de continuidad que involucra una cantidad que puede interpretarse como una corriente de densidad de probabilidad. Si intenta hacer lo mismo con la ecuación de Klein-Gordon, encontrará que esta interpretación no puede ser correcta porque implicaría probabilidades negativas, que son absurdas por definición de lo que son las probabilidades.

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