¿Cuál es la probabilidad de que un electrón de un átomo en la Tierra se encuentre fuera de la galaxia?

La cantidad que debe considerar primero es el radio de Bohr , esto le da una idea de las escalas atómicas relevantes,

$$a_0 = 5.29\times 10^{-11} ~{\rm m}$$

Para el hidrógeno (el elemento más abundante), en su estado fundamental, la probabilidad de encontrar un electrón más allá de una distancia$r$desde el centro se parece a (por$r \gg a_0$)

$$P(r) \approx e^{-2r/a_0}$$

Ahora conectemos algunos números. El radio virial de la Vía Láctea es de alrededor$200 ~{\rm kpc} \approx 6\times 10^{21}~{\rm m}$, por lo que la probabilidad de encontrar un electrón fuera de la galaxia de un átomo en la Tierra es de alrededor

$$P \sim e^{-10^{32}}$$

eso es... bastante bajo. Pero no necesitas ir tan lejos para mostrar este efecto, la probabilidad de que un electrón de un átomo en tu pie se encuentre en tu mano es$\sim 10^{-10^{10}}$.

Lo que se dice en el video es cierto, pero... recuerda que la teoría atómica es solo eso: una teoría. La propia teoría predice que las perturbaciones tendrán una gran influencia en los resultados.

Tenga en cuenta que los modelos se basan en hipótesis, que se violan fácilmente. Por ejemplo, la simetría esférica, que permite encontrar la solución en el átomo de hidrógeno (o más exactamente, el potencial de Coulomb en QM). La realidad nunca es así, pero podemos decir que "está lo suficientemente cerca" si el átomo está lo suficientemente lejos de otros objetos.

Sin embargo, de aquí al exterior de la vía láctea hay tantas perturbaciones que el modelo fallaría. Puedes decir que hay un nivel$n=1324791$, pero hay tantas partículas por ahí que el efecto de su átomo es absolutamente superado por CUALQUIER otro.

Entonces, ¿realmente tiene sentido calcular tal probabilidad si algo puede capturar ese electrón mucho más fácilmente? No me parece.

La forma en que formula su pregunta viola la mecánica cuántica: decir "debe haber una parte de todos los átomos en la Tierra cuyo electrón se encuentra fuera de la Vía Láctea" no es una afirmación que tenga sentido dentro de la mecánica cuántica. Lo que puede preguntar, y lo que otros han respondido, son variaciones de la pregunta de qué tan probable es encontrar un electrón enlazado a distancias galácticas del núcleo al que está enlazado.

Estoy enfatizando este punto que normalmente descartaríamos como semántica porque esta distinción hace que sea más fácil de entender que hay una segunda forma en la que su pregunta no tiene mucho sentido además de como un ejercicio numérico de funciones exponenciales: los electrones son indistinguible. ¿Cómo sabes que el electrón a partir del cual se dispersó el fotón de tu aparato de medición es "el" electrón que pertenece al átomo? La respuesta es que no puedes a menos que sepas que no hay otros electrones alrededor. Por lo tanto, tendría que mantener su átomo en una trampa cuyo vacío sea tal que la longitud media del camino libre exceda el radio de su átomo excitado en varios órdenes de magnitud, lo que implica que la trampa es igualmente grande. En realidad, no lo haríasmontones y montones de magnitudes más grandes. ¿Por qué? Porque todos los demás electrones del universo tienen una probabilidad constante de encontrarse dentro de tu trampa y hay montones , montones de electrones. Desea que la probabilidad total de golpear un electrón extraviado sea lo suficientemente pequeña como para no perturbar su experimento. De lo contrario, no puede asignar el electrón que dispersó su fotón de medición al átomo específico que le interesa. Después de todo, uno no busca un electrón en ningún sentido como uno buscaría un cojín calentador.

Editar: quiero agregar dos cosas que podrían ser de interés si desea profundizar en los electrones lejos del núcleo.

Primero, puede encontrar mediciones directas de las nubes de electrones de hidrógeno, consulte esta página de intercambio de pila: ¿Existe una verificación experimental de las formas orbitales s, p, d, f? Esto muestra, sin importar el terrible esquema de color del artículo, la rápida caída de las probabilidades a distancias crecientes.

En segundo lugar, se investigan activamente los átomos en los que los electrones están lejos del núcleo. En estos llamados átomos de Rydberg, los electrones se excitan a niveles de energía justo por debajo de la ionización donde las configuraciones experimentales actuales pueden acercarse lo suficiente a la ionización para alcanzar radios atómicos.$r \sim \textrm{const.}/\Delta{}E \sim 100 \mu m$con$\Delta E$la energía de ionización. Eso todavía está muy lejos de las distancias galácticas, pero estos experimentos muestran que la mecánica cuántica en realidad funciona unos pocos órdenes de magnitud más cerca de las escalas de longitud que le interesaban.

Dado un solo electrón, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre fuera de la Vía Láctea? Podemos estimarlo usando la función de onda del estado fundamental del átomo de hidrógeno,

$$\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0} ,$$ dónde$a_0 \approx 5*10^{-11}\, m$es el radio de Bohr.$|\psi|^2$es la densidad de probabilidad, la integración da $$p_1 = \int_R^\infty |\psi_{100}|^2 4\pi r^2\, dr = \frac{e^{-2R/a_0}(a_0^2 + 2a_0 R + 2R^2)}{a_0^2} .$$ enchufando$R \approx 5*10^{20}\, m$el radio de la Vía Láctea, obtenemos $$p_1 \approx \exp(-2*10^{31}) \approx 10^{-10^{31}} .$$

Este número es tan pequeño que es casi imposible comprender realmente cuán pequeño es. Hay muchos electrones en la Tierra, aproximadamente$N = 10^{51}$- pero la cantidad de electrones es absolutamente pequeña en comparación con estas probabilidades. La posibilidad de que algún electrón se encuentre fuera de la vía láctea es

$$p = 1 - (1 - p_1)^N \approx N p_1 = 10^{51} \, \cdot \, 10^{-10^{31}}$$ que ni siquiera hace mella.

se afirma que los electrones orbitan el núcleo de su átomo no en órbitas fijas bien conocidas, sino dentro de "nubes de probabilidad", es decir, espacios alrededor del núcleo donde pueden estar con una probabilidad del 95%, llamados "orbitales".

Supongo que no te sorprenderá saber que tu video de YouTube de cinco minutos simplifica demasiado la situación, pasa por alto la mayoría de los detalles y es un poco engañoso. Sin embargo, es cierto que el modelo de electrones que orbitan alrededor de núcleos atómicos como los planetas que orbitan alrededor de una estrella no explica adecuadamente todas nuestras observaciones. El modelo orbital atómico que describe el video es mejor en este sentido, por lo tanto, probablemente esté más cerca de la realidad, aunque tampoco es 100% correcto, es inadecuado incluso para las moléculas más simples.

Pero es importante entender que el modelo orbital atómico es inmensamente diferente del modelo de electrones en órbita. Un "orbital" no debe interpretarse como si fuera superficialmente similar a una "órbita", salvo en su ortografía. En particular, el video parece haberte dado la idea de que un electrón en un orbital atómico está en todo momento en una ubicación exacta, pero no sabemos exactamente dónde. Esto parece ser una gran parte de la inspiración para la pregunta.

Una forma más útil de verlo es que hasta que ya menos que sea localizado por observación, un electrón está deslocalizado en todo el universo, pero no uniformemente. Desde esa perspectiva, la función de densidad correspondiente a un orbital atómico no es una densidad de probabilidad para la ubicación del electrón, sino una función de densidad de masa y carga que describe su deslocalización. En ese sentido, el límite del 95% que menciona el video no se trata de dónde puede encontrar el electrón, sino de la cantidad de electrón que encuentra.

Ese número del 95%, por cierto, es solo una convención. Es útil elegir algún límite para pensar y representar la ubicación (en un sentido amplio) de los electrones, y ese número en particular resulta ser conveniente para ese propósito por una variedad de razones.

También se afirma que cuanto más lejos se busca el electrón del núcleo, más disminuye esta probabilidad, pero nunca llega a 0. Los autores del video concluyen que existe una probabilidad distinta de cero de que un átomo tenga su electrón. "al otro lado del Universo".

Es cierto que ya sea que vea la densidad orbital atómica como una densidad de probabilidad o como una densidad de masa/carga, o ambas, en ningún lugar cae exactamente a cero, ni siquiera a miles de años luz de distancia del núcleo. Pero se acerca tanto que no hace ninguna diferencia práctica.

Pero lo más importante, la pregunta es discutible. El modelo orbital atómico, que es solo un modelo, recuerde, solo representa un solo átomo. Incluso si fuera exactamente correcto para ese caso, el universo real contiene mucho, mucho más, a distancias mucho, mucho menores. El modelo orbital atómico no pretende ser aplicable a tales escalas de distancia en el universo real. Si alguna vez determinamos que un electrón en particular estaba ubicado a tal distancia de un núcleo en particular en un momento en particular, concluiríamos que el electrón no estaba unido a ese núcleo (y, por lo tanto, que el modelo orbital atómico no se aplicaba al par). ), porque muchos otros núcleos, electrones y otras cosas interactuarían más fuertemente con nuestro electrón elegido que nuestro núcleo elegido.

Si esto es cierto, entonces debe haber una parte de todos los átomos en la Tierra cuyo electrón se encuentra fuera de la Vía Láctea.

No tan. Hay un número finito de átomos en la Tierra, con un número finito de electrones. Si vemos a los electrones como entidades localizadas, de modo que tenga sentido hablar de ubicaciones específicas, entonces hay una gran cantidad de configuraciones de esos electrones de modo que ninguno está fuera de la Vía Láctea. Por lo tanto, no es necesario que haya una proporción distinta de cero de electrones de la Tierra fuera de la Vía Láctea.

¿Qué porción de los átomos tiene esta propiedad?

Dado que este es un argumento probabilístico, supongo que está preguntando por la proporción esperada (en el sentido estadístico). Otra respuesta ha calculado la probabilidad de encontrar cualquier electrón de la Tierra fuera de la Vía Láctea alrededor de e ^{-10 32} . Esa sería la proporción esperada. Sin embargo, para ponerlo un poco en perspectiva, hay del orden de 10 ⁵⁰ electrones terrestres . Si consideramos que las posiciones de los electrones no están correlacionadas entre sí, entonces el producto de esos dos números es el número de electrones de la Tierra que esperamos encontrar fuera de la galaxia.

Eso sería e ^{50log10 - 10 32} , que es apenas diferente de e ^{-10 32} , que es apenas diferente de cero. Entonces, con una muy buena aproximación, esperamos ver exactamente 0 electrones de la Tierra fuera de la Vía Láctea. Incluso si las suposiciones simplificadoras en ese cálculo introducen un error sustancial, tenemos muchos, muchos órdenes de magnitud con los que jugar antes de que alejemos notablemente la aguja de cero.

Quiero unir algunos temas que ya se han mencionado aquí, pero quiero expresar las ideas de manera diferente.

La idea de que un átomo de hidrógeno puede describirse mediante una función de onda de un electrón de un núcleo, a saber

$$\psi ( r_{nucleus}, r_{electron})$$ es una aproximación que es válida solo cuando se pueden despreciar los efectos de todos los demás átomos del universo. Si tengo dos átomos de hidrógeno que interactúan estrechamente, necesito estudiar una función de onda de dos núcleos y dos electrones $$\psi ( r_{nucleus 1}, r_{nucleus 2}, r_{electron 1}, r_{electron 2} )$$ y considere todas las simetrías mecánicas cuánticas que se aplican porque todos los electrones son indistinguibles y son fermiones. Entre otras cosas, al estudiar esta segunda función de onda, descubriré que dos átomos de hidrógeno a veces pueden describirse mejor como una molécula de dihidrógeno. Algo completamente cualitativamente diferente en comparación con los átomos aislados. Este es un resultado muy importante de la mecánica cuántica y la química cuántica.

Cuando consideramos que cualquier electrón dado y cualquier núcleo dado pueden estar muy separados y que puede haber muchos otros átomos entre ellos, necesitamos expandir nuestra función de onda para considerar todos los núcleos y todos los electrones. Es muy posible que nuestras soluciones no se parezcan en nada a las de los átomos de hidrógeno aislados. Lo más importante es que perderemos la capacidad de asociar definitivamente cualquier electrón dado con cualquier núcleo dado.

Como resultado de esto, la afirmación de que un átomo cerca de mí ahora tiene "su electrón" en el otro lado de la galaxia no es una afirmación bien definida en mecánica cuántica.

Sin embargo, es matemáticamente significativo plantear la hipótesis de un universo con solo un núcleo y un solo electrón y discutir la probabilidad (remota) de que, en cualquier estado cuántico dado, estén separados por una distancia a escala galáctica. Algunas otras respuestas dan estos números. Pero ese no es nuestro universo.