tengo un espacio-tiempo y un conjunto de simetrías discretas . Dados dos puntos fijos con , quiero argumentar que una geodésica que conecta los dos puntos se compone solo de puntos fijos.
Obviamente, esto no es cierto en general: por ejemplo, tome las rotaciones de la 2-esfera como simetría que deja los dos polos invariantes. Las geodésicas son los grandes círculos y todas tienen la misma longitud y se mapean entre sí. Sin embargo, si consideramos el espacio tridimensional completo con rotaciones, entonces la distancia más corta en realidad es invariable bajo rotaciones, porque es la línea recta que conecta los dos polos.
En cierto sentido, la simetría se rompe espontáneamente en el primer caso. ¿Hay alguna manera de distinguir los dos casos? En particular, si encuentro una geodésica que es invariante bajo las transformaciones de simetría, ¿existe un argumento general de que otras que no respetan esta simetría deberían ser más largas (solo geodésicas localmente más cortas)?
En la mecánica clásica, la ruptura espontánea de la simetría corresponde al caso en el que el hamiltoniano es invariante bajo una simetría pero las condiciones iniciales no lo son.
Los ejemplos dados en la pregunta de hecho (y en un sentido estricto) corresponden a la simetría de rotación espontáneamente rota e ininterrumpida alrededor del eje como se indica en la pregunta y como se aclarará a continuación.
En el caso del movimiento geodésico (no relativista) (de una partícula masiva), el hamiltoniano puede tomarse como:
La ecuación geodésica es de segundo orden, necesita 2 condiciones iniciales: posición y momento. Para que la simetría no se rompa espontáneamente, tanto la posición inicial como el momento deben ser invariantes bajo la simetría. Ahora podemos ver la diferencia entre los dos casos: (Supongamos que partimos del Polo Sur)
En el caso de la esfera, no hay un momento inicial posible invariante bajo la rotación alrededor del eje, ya que el momento es tangente a la esfera, por lo tanto paralelo a la avión.
En el caso de los tres espacios, existe una posibilidad en la que el impulso inicial es paralelo a la línea que conecta el Polo Sur con el Polo Norte. En este caso, el conjunto completo de condiciones iniciales es invariante bajo la simetría y la simetría no se rompe. En consecuencia, cada punto a lo largo de la geodésica es invariante bajo la simetría . (Todas las demás opciones de los momentos iniciales darán lugar a simetría rota como en el caso de la esfera).