¿Existe una conexión entre el teorema de Bertrands y la teoría del Caos?

Los métodos que se usan para comprender o incluso construir el teorema de Bertrand pertenecen, de hecho, a la amplia clase de métodos que se usan también en la teoría del caos, pero la conexión es bastante vaga. Describiré cómo puedes entender incluso esta conexión suelta.

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Cuando tenemos un sistema dinámico en mecánica clásica, necesitamos analizar si es integrable o no. Integrable significa que a lo largo de las trayectorias del sistema, tenemos suficientes integrales de movimiento como el momento angular o la energía para que podamos expresar todas las posiciones y velocidades futuras en términos de los datos iniciales en términos de cuadraturas (posiblemente fórmulas implícitas que presentan integrales definidas ).

Considere el ejemplo de una partícula que se mueve en 1 dimensión en un potencial independiente del tiempo$V(x)$. Para esta partícula, sabemos que conserva energía a lo largo de su movimiento.

$$E = \frac{1}{2}m \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + V(x)$$ Por lo tanto, podemos expresar su velocidad en términos de la energía inicial y la posición $$\frac{d x}{ dt} = \sqrt{2 (E - V)/m}$$ Mientras $dx/dt \neq 0$puede reescribir formalmente este sistema como $$\frac{d x}{\sqrt{2 (E - V)/m}} = dt$$ Y después de la integración terminas con $$\int_{x_0}^{x} \frac{d x}{\sqrt{2 (E - V)/m}} = t - t_0$$ esto es lo que se llamaría una solución en términos de cuadraturas.

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Para sistemas mecánicos clásicos (Hamiltonianos) de dimensiones superiores, tenemos teoremas como el teorema de Liouville-Arnold que nos dice que si existe un conjunto adecuado de integrales de movimiento, entonces existe una solución en términos de cuadraturas. Más específicamente, para un sistema de$N$grados de libertad, se necesita un conjunto de$N$integrales de movimiento que son independientes y en involución a través del corchete de Poisson .

Para el movimiento acotado, esto termina en el movimiento dividiéndose en$N$movimientos periódicos independientes con$N$frecuencias "fundamentales" generalmente independientes. Considere una partícula que se mueve en un plano y un potencial central:

El movimiento se divide en 1) una oscilación periódica en la distancia desde el centro (el periastro y el apoastron ), y 2) la rotación periódica alrededor del centro. Si estas dos frecuencias no coinciden, obtenemos un movimiento cuasi-periódico , una trayectoria que no es periódica en el sentido de alcanzar el mismo punto y la misma velocidad en un tiempo finito pero que aun así se descompone en un producto regular de movimientos periódicos.

Sin embargo, si no hay una cantidad suficiente de integrales de movimiento, el movimiento se vuelve caótico. Es notoriamente difícil probar analíticamente que no hay un número suficiente de integrales de movimiento para el conjunto dado de trayectorias en un sistema dinámico y que estas trayectorias necesariamente se volverán caóticas. Hay algunos métodos como la integral de Melnikov (a veces llamada integral de Poincaré-Melnikov-Arnold) que pueden mostrar que existen pequeñas capas de caos en el espacio de fase. (Poincaré usó algo de este tipo para probar la caoticidad del problema de los tres cuerpos ). Pero las investigaciones reales en el caos se basan principalmente en enfoques numéricos o seminuméricos.

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Pero ahora estoy llegando al teorema de Bertrand; de hecho, puedes probar el teorema de Bertrand pensando en la integrabilidad.

La razón es que cuando tienes un sistema que es "demasiado integrable", el número de frecuencias fundamentales se reduce. Por ejemplo, el movimiento de una partícula en tres dimensiones tendrá genéricamente tres frecuencias fundamentales, pero el movimiento en un potencial estacionario y esféricamente simétrico tendrá solo dos. Esto se debe al hecho de que la estacionariedad le dará una energía integral de movimiento (debido al teorema de Noether ), y surgen tres momentos angulares debido a tres simetrías de rotación (piense en ángulos de Euler , no en coordenadas polares$\vartheta, \varphi$). No todos los momentos angulares están en involución, pero eso no impide que actúen como una restricción que restringe la libertad en la que la trayectoria totalmente integrable puede tambalearse. Específicamente, la conservación de todo el vector de momento angular restringe el movimiento a un plano como se muestra arriba. Entonces, en los sistemas esféricos, terminas con un sistema "demasiado integrable" que tiene efectivamente dos grados de libertad y solo dos frecuencias fundamentales.

Ahora viene el movimiento en el$1/r, r^2$potenciales. Estos tienen simetrías adicionales especiales que hacen que posean integrales de movimiento adicionales.

Para el$r^2$es fácil, porque la dinámica de la partícula en este campo corresponde a un producto cartesiano de movimientos de tres osciladores armónicos lo que te da tres integrales de movimiento correspondientes a tres energías de los osciladores independientes. Usted sabe que las frecuencias fundamentales son las frecuencias de los osciladores y, por lo tanto, solo habrá una frecuencia fundamental si establece la misma rigidez en todas las direcciones. Sin embargo, un punto de vista diferente sobre esta propiedad es ver que cuando la rigidez de los osciladores es la misma en todas las direcciones, el sistema se vuelve esféricamente simétrico, obtenemos las integrales de movimiento de momento angular adicionales, y esto reduce el número de frecuencias fundamentales.

Para el$1/r$potencial esta historia es un poco más difícil ya que la simetría adicional mezcla transformaciones de espacio y tiempo. La simple consecuencia es la conservación del llamado vector de Lenz-Runge que nuevamente conduce a la hiperintegrabilidad ya la reducción del número de frecuencias fundamentales. Pero por su propia definición, si solo hay una frecuencia fundamental, el movimiento debe ser estrictamente periódico y debe cerrarse después de un ciclo.

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Sin embargo, esto no prueba que la$r^2,1/r$Los potenciales son los únicos con esta propiedad. Lo que en realidad hizo Joseph Bertrand es que ha demostrado que si el potencial es cualquier otro que$1/r, r^2$potencial, siempre habrá algunas trayectorias que no se cierren.

Cada potencial analítico esféricamente simétrico que tiene al menos algún movimiento acotado también tendrá órbitas circulares (que están cerradas). Joseph Bertrand estudió órbitas que están muy cerca de las órbitas circulares y demostró que estas órbitas ligeramente perturbadas ya no se cerrarán a menos que estos potenciales sean$r^2, 1/r$. La página de wikipedia sobre este tema está bien escrita.

Perturbar órbitas y ver cuál es su comportamiento es en realidad uno de los métodos fundamentales de la teoría del caos e incluso es la base de la definición de un exponente de Lyapunov , la medida principal del caos. Sin embargo, es fácil ver que en el teorema de Bertrand estos métodos se usan en un contexto completamente diferente y con un fin completamente diferente.

Demostrar el teorema de Bertrand ha atraído mucho interés, y hay bastantes demostraciones usando varios métodos. Mi biblioteca de documentos presenta un artículo [1] que creo que calificaría, pero está en francés. Aquí está el resumen publicado en inglés

"Cuando una masa puntual sufre una fuerza de gradiente central, atractiva, existe una familia de un parámetro de órbitas periódicas circulares. El teorema de Bertrand afirma que si todas las órbitas cercanas a estas órbitas circulares son periódicas, entonces el potencial es newtoniano (es decir, proporcional a$1/r$, dónde$r$es la distancia al centro de atracción fijo) o elástica (es decir, proporcional a$r^2$) (J. Bertrand. Comptes Rendus 77 (1873), 849–853). Siguiendo una idea de Michael Herman, calculamos los dos primeros invariantes de Birkhoff de este sistema a lo largo de las trayectorias circulares para un potencial genérico; luego mostramos cómo derivar el teorema de Bertrand".

y aquí hay una traducción mía de la frase que presenta los desarrollos en el artículo:

"En esta demostración, entre los potenciales no newtonianos y no armónicos, lo que impide la propiedad de tener solo órbitas periódicas, viene ya sea por el$1/r^2$potencial de la existencia de una función estricta de Lyapunov o, para un potencial genérico, de la existencia de movimientos con dos frecuencias inconmensurables (una frecuencia de precesión y una frecuencia de revolución)"

La frase "función estricta de Lyapunov" es una traducción literal que espero tenga sentido en inglés: ¡mi conocimiento de este campo es endeble!

[1] Jacques Féjoz y Laurent Kaczmarek, Sur le théorème de Bertrand (d'après Michael Herman), Ergodic Theory and Dynamical Systems 24 (2004), 1583-1589 https://doi.org/10.1017/S0143385704000434