Un punto confuso del hamiltoniano para una partícula que interactúa con campos electromagnéticos.

I) El hamiltoniano para cargas puntuales y campos EM ciertamente puede producir los MOE de la(s) partícula(s) así como los campos EM.

Una explicación completa es una historia bastante larga. Por razones pedagógicas, para ver cómo funciona esto, lo mejor es:

1. En primer lugar, comprender la formulación lagrangiana correspondiente.

2. En segundo lugar, comprenda cómo funcionan las formulaciones hamiltonianas para cargas puntuales y campos EM por separado; consulte, por ejemplo, las publicaciones this & this Phys.SE.

3. En tercer lugar, intente construir una formulación hamiltoniana para cargas puntuales y campos EM juntos.

II) Una corrección: el hamiltoniano de OP (1) produce la energía total correcta, pero OP pregunta cómo producir las ecuaciones de Maxwell. Para este último propósito, al hamiltoniano de OP (1) le falta un término multiplicador de Lagrange que impone la ley de Gauss.

III) Concretamente, el espacio mínimo de fase es el siguiente:

1. Posición de partículas${\bf r}(t)$y momento de partícula${\bf p}(t)$:

   $$\{r^k(t), p_{\ell}(t)\}= \delta_{\ell}^k.$$

2. (Menos$^1$) el campo eléctrico${\bf E}(x)$es la variable conjugada canónica al potencial de calibre magnético${\bf A}(x)$:

   $$\{A_i({\bf x},t), E^j({\bf x}^{\prime},t)\}~=~ -\delta_i^j~\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf x}^{\prime}).$$

3. Multiplicador de Lagrange$A^0(x)\equiv \phi(x)$.

IV) Las ecuaciones resultan de la siguiente manera:

1. el campo magnetico${\bf B}\equiv{\bf \nabla}\times {\bf A}$se define como el rotacional del potencial de calibre magnético${\bf A}$.

2. Las ecuaciones de Hamilton para${\bf r}$y${\bf p}$producir (i) la segunda ley de Newton con una fuerza de Lorentz, y (ii) la relación entre la velocidad$\dot{\bf r}$y el impulso${\bf p}$.

3. Las ecuaciones de Hamilton para${\bf A}$y${\bf E}$producen (i) la ley de Maxwell-Ampere, y (ii) la relación entre el campo eléctrico${\bf E}$y el potencial de calibre$A_{\mu}$.

4. El multiplicador de Lagrange$A^0\equiv\phi$impone la ley de Gauss.

5. Las ecuaciones de Maxwell sin fuente se derivan de la existencia del potencial de calibre$A_{\mu}$.

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$^1$Usamos$(-,+,+,+)$Minkowski firma convención con$c=1$.

Normalmente, el hamiltoniano EMF debe escribirse en términos de$Q$arena$P$s del campo electromagnético que se realiza representándolo a través de osciladores armónicos. Puede encontrar la descomposición de EMF en un conjunto de osciladores armónicos en muchos libros de texto.

Elimina el segundo término del hamiltoniano por completo. En el primer término solo se considera el campo de otras partículas.