Terminología física sobre campos manchados y no manchados

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Terminología física sobre campos manchados y no manchados

Oro

Dejar $M$ sea una variedad suave y denote $C^\infty_0(M)$ el espacio de funciones suaves con soporte compacto. En Matemáticas una distribución se define como una funcional lineal continua $\phi : C^\infty_0(M)\to \mathbb{R}$ . El espacio de las distribuciones se suele denotar $\mathfrak{D}'(M)$ .

Entonces, una distribución es un mapa que toma una función y genera un número de forma lineal y continua. La distribución Delta centrada en $x\in M$ es por ejemplo

d_{X} [F] = F (X) .

$\delta_x[f]=f(x).$

Otra forma de crear distribuciones es elegir $f\in C^\infty_0(M)$ y definir

F^{⋄} [gramo] = \int_{METRO} F gramo .

${f}^\diamond[g]=\int_M fg.$

Eso está bien. El problema es el siguiente: en Física a menudo se olvida todo esto y se tratan las distribuciones como funciones. Entonces, un físico casi nunca se molestará en escribir $\phi[f]$ o solo $\phi$ . Escriben $\phi(x)$ lo cual no es realmente correcto, ya que $\phi$ no es una función en $M$ en absoluto.

Sin embargo, el problema es que hay una terminología que me confunde bastante. A menudo se habla de campos "borrosos" escritos como

φ [F] = \int_{METRO} φ (X) F (X)

$\varphi[f]=\int_M\varphi(x)f(x)$

y habla sobre el campo en "forma no manchada" escribiéndolo simplemente $\varphi(x)$ . Esto confunde aún más, porque se sabe que no es cierto que dado $\varphi$ hay $f$ tal que $\varphi = f^\diamond$ .

Esta terminología se puede encontrar, por ejemplo, en las notas de Fewster sobre QFT en el espacio-tiempo curvo, pero la he visto en otros lugares.

Esto parece implicar que cuando uno elige $\phi\in C^\infty_0(M)$ no se mancha y cuando se coge $\phi^\diamond\in \mathfrak{D}'(M)$ y aplicarlo a una función que está manchada (pero tenga en cuenta que $\phi^\diamond[f]$ es un número real, ya ni siquiera es un campo después de aplicar a $f$ ).

Entonces, ¿de qué se trata realmente esta terminología manchada y sin manchas y cómo hace contacto con la teoría de la distribución de las matemáticas?

ryan unger

la notación

u (x)

$u(x)$ para una distribución

u

$u$ es una buena manera de recordar a todos "en qué" espacio de funciones de prueba actúa, y es especialmente útil cuando se trabaja con productos de espacio/tensor de producto.

Javier

Es solo un abuso de notación, exactamente como pretender

δ (x)

$\delta(x)$ es una función La charla de "campo manchado" es para la intuición: explica por qué usamos distribuciones.

Respuestas (2)

Terminología física sobre campos manchados y no manchados

la notación $u(x)$ para una distribución $u$ es una buena manera de recordar a todos "en qué" espacio de funciones de prueba actúa, y es especialmente útil cuando se trabaja con productos de espacio/tensor de producto.
Es solo un abuso de notación, exactamente como pretender $\delta(x)$ es una función La charla de "campo manchado" es para la intuición: explica por qué usamos distribuciones.

yuggib · Answer 1

Los campos cuánticos (no manchados) a menudo se denominan distribuciones valoradas por operadores en física matemática.

Seguramente son mapas lineales de algún espacio lineal simpléctico de funciones de prueba a los operadores autoadjuntos afiliados a una W*-álgebra. Sin embargo, en general pueden no ser mapas continuos, por lo que técnicamente no son distribuciones.

En cambio, los campos clásicos suelen ser "distribuciones" estándar, o más precisamente elementos del dual continuo del espacio simpléctico de funciones de prueba (que, sin embargo, pueden no ser necesariamente $C_0^{\infty}(M)$ , o $\mathscr{S}(M)$ si es posible definirlo).

la notación $\varphi(x)$ , a menudo utilizado por los físicos, es un abuso y podría evitarse. Permítanme señalar, sin embargo, que los analistas usan a menudo la notación $f(x)$ para distribuciones en $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ , especialmente si están en un "subespacio de funciones", como $L^p(\mathbb{R}^d)$ o $W^{r,p}(\mathbb{R}^d)$ (y así, para los campos clásicos, que generalmente se supone que están en algún espacio de Sobolev, la notación sigue siendo matemáticamente bastante aceptable).

usuario1504 · Answer 2

Es cierto que muchas distribuciones no están representadas por funciones, pero también es cierto que cualquier distribución puede aproximarse arbitrariamente bien mediante funciones, que son muy bonitas. (Un ejemplo: $\delta_0[f] = \lim_{\epsilon \to 0} \int f(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi\epsilon}} exp(-\frac{x^2}{2\epsilon})$ .) Este es realmente un hecho bastante general sobre los espacios nucleares. El espacio vectorial nuclear $\mathcal{S}$ de funciones de prueba es densa en el espacio dual $\mathcal{S}'$ de distribuciones.

Casi lo mismo sucede cuando los físicos usan la notación abusiva $\phi(x)$ . Están implícitamente aproximando distribuciones valoradas por operadores $\phi$ por funciones valoradas por el operador, suavizando los modos de frecuencia más alta. Entonces, realmente están usando $\phi_\epsilon(x) = \int \phi(y) w_\epsilon(x-y) dy$ , dónde $w_\epsilon$ es una función reguladora del ancho $\epsilon$ . Esto está bien, siempre que tenga cuidado de no sacar conclusiones sobre distancias cortas más rápido de lo que se encoge. $\epsilon$ .

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