Estados propios de un operador de campo hermitiano

Considere un operador de campo hermitiano ϕ ( X ) con estados propios que satisfacen

ϕ ( X ) | α ⟩ = α ( X ) | α ⟩
Estoy tratando de determinar el producto interno entre los estados propios. Para ello, considero
⟨ β | ϕ ( X ) | α ⟩ = α ( X ) ⟨ β | α ⟩ = β ( X ) ⟨ β | α ⟩
lo que implica
[ α ( X ) − β ( X ) ] ⟨ β | α ⟩ = 0 ( 1 )
P. ¿Cuál es la solución a esta ecuación?

De la ecuación deduzco que ⟨ β | α ⟩ = 0 cuando sea α ( X ) ≠ β ( X ) para cualquier X y por lo tanto tiene soporte sólo cuando α ( X ) = β ( X ) . ¿Cómo puedo representar esto?

¿Es obvio que esto implica

⟨ β | α ⟩ ∝ d [ α ( X ) − β ( X ) ]
Esta solución parece extraña ya que parece implicar que la norma del estado propio es "infinita" (¡ingenuamente!), pero esto no se sigue de ( 1 ) .

Sé que hay muchas sutilezas aquí cuando se trata de espacios de Hilbert de dimensión infinita. La solución puede estar en una de esas sutilezas. ¿Algunas ideas?

Especulo que esta pregunta puede no tener una respuesta matemáticamente rigurosa a menos que la teoría del campo sea extremadamente simple. Moralmente hablando, ¿no es ⟨ β | α ⟩ el " β - α elemento de matriz" de la función de partición (en firma euclidiana), ya que escrito como una integral de trayectoria, el producto interno sería ∫ D ϕ mi − S con las condiciones de contorno apropiadas? Como otra nota, diría que ⟨ β | α ⟩ ∝ d ( α − β ) dónde d es una "función delta funcional", distinta de cero solo si las funciones son las mismas.
Formulado mejor en 312006 .

Respuestas (2)

La relación

⟨ a | b ⟩ ∝ d ( a − b )

no es nada raro, es simplemente una condición de ortogonalidad. Si la proporcionalidad fuera una igualdad, y además tuviéramos completitud, el conjunto de estados formaría una base ortonormal. La razón por la que aparece la función delta es que supone que su operador tiene un espectro continuo de valores propios.

Estamos trabajando con un espacio vectorial, parece natural que debería haber alguna forma de definir una condición de ortogonalidad. La distribución delta, como funcional lineal en el espacio de Hilbert, proporciona la estructura adecuada para ello. Si te preocupan los infinitos, hay dos cosas que debes tener en cuenta: formalmente, la función delta no es realmente infinita, ya que estrictamente solo se define bajo una integral. Esto se debe a su naturaleza como distribución. La otra cosa es que de todos modos no es una cantidad observable: lo que es físicamente relevante son los valores propios de los operadores y las probabilidades.

Los pasos que anotó hasta eq. 1 es, de hecho, una prueba simple del siguiente teorema (que se puede consultar en los libros de texto elementales de mecánica cuántica):

Las funciones propias (de un operador hermitiano o, más generalmente, un operador simétrico en un espacio de Hilbert separable) que pertenecen a valores propios distintos son ortogonales.

Esto siempre es cierto para los espacios de Hilbert separables (que tienen una base contable), por ejemplo, el espacio de Hilbert L 2 de funciones cuadradas integrables.

¿No tenemos que usar algún tipo de espacio de Hilbert amañado aquí?
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