Límite superior de una expresión elevada a la n-ésima potencia

Question

Matrices aleatorias

Considere la expresión, donde $x \gg n$ .

{(1 + \frac{1}{X})}^{norte} .

$\begin{equation} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{n}. \end{equation}$

Estoy tratando de encontrar un límite superior de esta expresión. ¿Puede un límite superior ser

1 + \frac{escuela politécnica (norte)}{X} ?

$\begin{equation} 1 + \frac{\text{poly}(n)}{x}? \end{equation}$

Tengo la intuición de que todos los términos de orden superior deberían suprimirse, pero estaba buscando una breve prueba de este hecho.

usuario · Answer 1

tenemos eso

{(1 + \frac{1}{X})}^{norte} = {mi}^{norte registro (1 + \frac{1}{X})} \leq {mi}^{\frac{norte}{X}}

$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{n}=e^{n\log\left(1 + \frac{1}{x}\right)}\le e^{\frac n x}$

entonces podríamos usar por ejemplo que para $0<y< 1.25$

{mi}^{y} \leq 1 + 2 y ⟹ {(1 + \frac{1}{X})}^{norte} \leq 1 + \frac{2 norte}{X}

$e^y\le1+2y \implies \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{n} \le 1+\frac {2n} x$

Más en general, se puede demostrar que para cualquier $\varepsilon >0$ tal que $0<\frac x n <\varepsilon$ podemos encontrar $a>1$ tal que

{(1 + \frac{1}{X})}^{norte} \leq 1 + \frac{a norte}{X}

$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{n} \le 1+\frac {an} x$

¡Gracias @Sebastiano! Tal vez también podamos encontrar otras formas de resolverlo. Adiós