Anomalía de la U(1)U(1)\text{U}(1)-SU(2)SU(2)\text{SU}(2)-SU(3)SU(3)\text{SU} (3) diagrama de triángulo

Solo está haciendo una pregunta sobre el uso: la respuesta del problema es trivial, una vez que aprecia el lenguaje involucrado.

Para una generación de quarks zurdos, considere la representación 6-d. Entonces, su vector 6 tendría el quark arriba en sus 3 componentes superiores (que representan los 3 colores del mismo), y el abajo en los 3 inferiores. Los 12 generadores SM corresponden a una docena de matrices 6 × 6 que actúan sobre dichos vectores.

Los generadores SU(2) ascienden a$\tau^i\otimes 1\!\!1_3$, es decir, matrices de Pauli 2×2 con unos idénticos 3×3 en cada una de sus entradas. Los SU(3) también equivalen a$1\!\!1_2\otimes \lambda^a$, es decir, matrices de Gell-Mann actuando sobre el bloque de tripletes u y las mismas sobre el bloque d . La hipercarga conmuta con todo y es 1/3 o 1/6 (según las convenciones: la carga promedio del doblete o el doble) veces$1\!\!1_2 \otimes 1\!\!1_3$.

Excepto por la hipercarga, el rastro de cada una de las 11 matrices restantes se desvanece. ¿Ves eso? Además, el producto 1-2-3 que se le pide que considere es proporcional a$\tau^i\otimes \lambda^a$, también sin rastro.

La traza del producto de Kronecker es el producto de las trazas de los factores tensoriales, véase la última ecuación aquí . (Si esto no fuera dolorosamente obvio para usted, considere la diagonal$\tau^3\otimes \lambda^3$.) Ahora observe cómo esto también es cierto para todas las repeticiones, incluidas las de mano derecha donde los generadores SU(2) desaparecen. (No importa que su hipercarga sea más complicada: la traza de 0 para SU(2) es cero).

También es cierto para las anomalías 2-2-3 de su problema, ya que el rastro de la parte de color siempre se desvanecerá, y el anticonmutador de dos matrices de Pauli es la identidad, en caso de que necesite saber eso, pero no debería: el rastro duplicado del espacio de color, el factor correcto del producto tensorial, siempre se desvanece.

En la práctica, introduce los índices pertinentes. Por ejemplo, el vértice del gluón presenta el mero número$(T_R^a)_{\alpha\beta}$dónde$\alpha$y$\beta$son los índices de color de los quarks en el bucle. Cada propagador de quarks tiene un$\delta_{ab}$. Entonces terminas con una suma sobre todos los colores que da como resultado el rastro de$T_R^a$, que es 0. El vértice del fotón en este punto de vista es solo un número. El$Z$vertex es más arcano pero se aplica la misma idea: introducir índices. Pero para probar el resultado solicitado en el ejercicio, ni siquiera necesita explicitar el$Z$vértice ya que la inspección anterior del vértice del gluón le da el resultado.

Es más fácil de entender cuando tratas de escribir la amplitud del diagrama triangular para U(1)$\times$SU(2)$\times$SU(3). Solo para recordar, necesitamos la siguiente regla de Feynman para las teorías de calibre no abelianas.

Dónde$T^a$es el generador del grupo e "i y j" son la "carga de color" de la partícula. En principio, como tenemos un bucle, estos generadores estarán dentro de una traza, pero como son componentes de los generadores, solo podemos factorizarlos y la amplitud será proporcional a los generadores.

Aquí es importante tener en cuenta que la carga de color de una interacción cambia cuando interactúa con el bosón de norma de la misma interacción, de lo contrario, la carga de color permanece en el flujo de fermiones. Empecemos con el triangulo$SU(3)\times SU(2)^2$

donde "i" es la carga débil y "l,m" son las cargas de color. Vamos a empezar en el vértice del bosón débil y va en contra del flujo de fermiones. Esta carga débil "i" no cambia cuando este fermión interactúa con el vértice del gluón y ocurre lo mismo cuando este fermión interactúa con el segundo vértice del gluón. Significa que la carga débil "i" que comienza debe ser la misma al final (para conservar la carga débil). La historia es diferente para la carga de color "l" porque cambia a la carga de color "m" cuando interactúa con el vértice del gluón y vuelve a cambiar a "l" (para conservar la carga de color) cuando interactúa con el segundo vértice del gluón. Así encontramos una traza de una matriz de Pauli ya que la carga débil no cambió y una traza de dos matrices de Gell-Mann.

Ahora es muy intuitivo mostrar que para el$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$diagrama hay trazas para cada generador.

En conclusión, puedes calcular la contribución de cualquier diagrama de triángulos, simplemente escribiendo la amplitud y jugando con las cargas de color.

Advertencia: no se confunda cuando digo carga de color. He usado carga de color para referirme a una carga general de cualquier interacción y también para una interacción fuerte.