espinor relacionado y representación fundamental para E8E8E_8

Ok, esbozaré algunos pasos importantes aquí para relacionar la representación espinosa de$D_n$a la representación vectorial.

Para$E_8$, la representación adjunta 248 se puede escribir en términos de la representación de espinor de quiralidad positiva 128 de SO(16) y la representación adjunta 120 de SO(16) como,$248=120+128$

Ahora, llevar a cabo la traza en la representación 120 se puede realizar utilizando la propiedad de factorización de caracteres de Chern que pregunté anteriormente. El resultado que relaciona la traza en la representación adjunta con la representación fundamental dice:

$Tr(e^{iF})= \frac{1}{2}(tre^{iF})^2-\frac{1}{2}(tre^{2iF})$

Ahora tenemos que evaluar la traza en la representación 128 y relacionarla con la representación fundamental, para que podamos comparar la relación entre$TrF^4$(junto a$E_8$) y$TrF^2$y$Tr F^6$a$TrF^2$. Estos pueden estar relacionados porque el tensor invariante independiente de E_8 es 2, 8, 12 y así sucesivamente (ver ref.1). Ahora hay que obtener la relación entre la representación 128 del espinor y la representación fundamental. De la referencia (1) la fórmula relevante es 65 y 66.

Ahora$X_r$es un polinomio de orden 8 aquí y, por lo tanto, podemos despreciar el segundo término para nuestros propósitos, es decir, hasta el orden$TrF^6$.($B_{2n}$son números de bernoulli) Ahora poniendo$r=8, B_2=1/6$y$B_4=-1/30$y escribiendo el lado izquierdo como$Tre^{F}$(en representación 128), y haciendo la expansión podemos recoger término comparando las potencias. Uno se las arreglará haciendo esto,

$TrF^2= 16trF^2$y$TrF^4= 6(trF^2)^2-8trF^4$cuáles son los que precisamente se necesitan. Sumando los resultados de 128 y 120 en términos de representación fundamental uno obtiene inmediatamente$TrF^4= 6(trF^2)^2-8trF^4+8trF^4+3(trF^2)^2=9(trF^2)^2$y$TrF^2=16 trF^2+14 trF^2=30 trF^2$. Está claro que tenemos relación,

$TrF^4= (TrF^2)^2/100$

De manera similar, al incluir una siguiente potencia y valor$B_6$, podemos obtener la relación.

$TrF^4= (TrF^2)^3/7200$

Que se necesitan.

Ahora, en la ref. 2.

Ahora para mostrar la equivalencia, uno tiene que notar que$F/2\pi$en la representación fundamental se puede diagonalizar con valores propios$\pm iy_{\beta}$(ya que es una matriz antisimétrica), donde$\beta$=1…….r, sin embargo en la representación del espinor sus valores propios son$1/2 (\pm iy_1,………..,\pm iy_r)$, donde hay un número par o impar de signos menos, según la quiralidad positiva o negativa.

Esta forma de valores propios es el resultado de expresar el conjunto máximo de conmutación del generador en términos de sus pesos. No puedo poner mucho énfasis en esto aquí, porque aquellos que estén interesados ​​pueden consultar Polchinski Vol.2, capítulo 11 o/y Wybourne 'grupos clásicos para físicos'. Ahora nos fijamos en la fórmula 3.11 de la referencia 2,

$Tre^{iF_s/2\pi}=2^{m-1}[\pi_{1}^{m}coshy_\beta/2 \pm \pi_{1}^{m}sinhy_\beta/2]$

. Para verificar que esta fórmula se cumple y que no está presente ningún término cruzado como sen.cos, tomamos el caso m=4 y elegimos la condición de un número impar con signo menos. La combinación posible que tenemos ahora es,$( y_1,y_2,y_3, -y_4),(y_1,-y_2,y_3,y_4),(y_1,y_2,-y_3,y_4),(y_1,y_2,y_3,-y_4),(-y_1,-y_2,-y_3,y_4),(-y_1,-y_2,y_3,-y_4),(-y_1,y_2,-y_3,-y_4),(y_1,-y_2,-y_3,-y_4)$con un factor de i/2 eliminado, ahora evaluamos$e^{iF_s/2\pi}$, primero podemos observar que$(y_1,y_2,y_3, -y_4)$se complementa con$(-y_1,-y_2,-y_3, y_4)$y por lo tanto para otro término. Entonces tenemos términos como$e^{\frac{1}{2}( y_1+y_2+y_3 -y_4)}$y$e^{-\frac{1}{2}( y_1+y_2+y_3 -y_4)}$, que se pueden combinar para dar un término de tipo cosh. Lo mismo es cierto para las otras tres combinaciones.

Combinando todos los términos juntos obtenemos,

$4[cosh(y_1-y_2)cosh(y_3+y_4)+ cosh(y_1+y_2)cosh(y_3-y_4)]$, evaluarlo da

$8[cosh(y_1/2)……cosh(y_4/2)- sinh(y_1/2)……sinh(y_4/2)]$que es el resultado siguiente de 3.11 de la referencia 2.

Incluso el caso puede verificarse de la misma manera y en cualquier otro orden.

Ahora podemos usar la expansión de Taylor de$log cosh x$que se puede encontrar en los libros que tratan de tablas matemáticas como la referencia 3 y llegan al primer término de 65 y 66 de la referencia 1.

El segundo término también se puede escribir de manera similar pero no igual e involucra un término que es de orden$Tr(F^m)$y superior (Referencia 2, eqn.3.13 y 3.14). Sin embargo, este término no tiene su uso en nuestro caso y, por lo tanto, omitimos cualquier discusión al respecto.

Referencias-

1- Ritbergen, Schellekens, Vermaseren, Factores de teoría de grupos para diagramas de Feynman: hep-ph/9802376v1.

2- AN Schellekens y NP Warner, Nucl. Phys B287 (1987) 317 (puede encontrarse en Google Scholar).

3- Gradshteyn, Ryzhik, libro de Jeffrey sobre tablas matemáticas. (¡No tengo el nombre exacto del libro!).