Traza de generadores del grupo de Lie

Question

Traza de generadores del grupo de Lie

rastro
Física
mentira-álgebra
teoría de grupos
tensor-métrico
representaciones de grupo

nox

En la mayoría de los libros de texto (Georgi, por ejemplo) se introduce un producto escalar en los generadores de un Lie Algebra (la forma Cartan-Killing) como

t r [T^{a} T^{b}]

$tr[T^{a}T^{b}]$ que se diagonaliza rápidamente (para álgebras compactas) y los generadores se escalan de manera que

t r [T^{a} T^{b}] = d^{a b} .

$tr[T^{a}T^{b}] = \delta^{ab}.$ En base a esto obtenemos que, por ejemplo,

F_{a b C} = - i t r ([T^{a}, T^{b}] T^{C})

$f_{abc} = -i\, tr ([T^{a}, T^{b}]T^{c})$ que son completamente antisimétricas.

Sin embargo, he visto que estas relaciones se utilizan para la representación arbitraria (en particular, la fundamental) como algo natural (tal vez hasta cierta normalización). ¿Es esto porque $tr[T^{a}T^{b}]$ define una matriz simétrica en cualquier representante que por lo tanto se puede diagonalizar? ¿Es una verdad general? ¿O la diagonalización en el adjunto implica una diagonal en cualquier otro representante?

Sé que las constantes de estructura están esencialmente fijadas para todas las repeticiones por la suavidad y el producto del grupo. ¿Es por eso que fijar la forma en una base para una repetición la fija para esa base en todas las repeticiones?

Para un ejemplo concreto, supongamos que miro SU(2). El representante adjunto es tridimensional y puedo transformar y escalar linealmente mis generadores (es decir, las constantes de estructura) para que la traza sea diagonal y normalizada. Esto arregla de una vez por todas que las constantes de estructura de SU(2) son $f_{ijk} = \epsilon_{ijk}$ , decir.

Ahora le pido a alguien que construya la representación fundamental; buscan matrices de 2x2 que satisfagan el álgebra de Lie con estas constantes de estructura. Encuentran las matrices de Pauli. ¿Por qué estos salen de tal manera que el rastro $tr [\sigma^{a} \sigma^{b}] \propto \delta_{ab}$ ¿automáticamente? Es un representante diferente... ¿por qué está garantizado?

AccidentalFourierTransformar

índice de Dynkin .

nox

Gracias por el enlace. Es potencialmente útil, pero le falta el detalle clave. ¿Por qué se garantiza que si la huella toma la forma

g_{a b}

$g_{ab}$ en alguna repetición, entonces en cualquier otra repetición es solo una escala de esta misma forma? Ese es el propósito mñth de mi publicación.

nox

Euxaristw Kosma, pero esto requiere varias propiedades sobre la capacidad de construir representaciones de dimensiones superiores a través de productos tensoriales. Supongo que estoy buscando algo más fundamental sobre el Lie Algebra. Debería derivarse de algo más general.

Cosmas Zachos

Sí lo hace; es posible que deba reemplazar su texto con uno superior .

Cosmas Zachos

Ch IV, p 29, sobre la unicidad de los invariantes bilineales hasta un número.

Respuestas (3)

Traza de generadores del grupo de Lie

Gracias por el enlace. Es potencialmente útil, pero le falta el detalle clave. ¿Por qué se garantiza que si la huella toma la forma $g_{ab}$ en alguna repetición, entonces en cualquier otra repetición es solo una escala de esta misma forma? Ese es el propósito mñth de mi publicación.
Euxaristw Kosma, pero esto requiere varias propiedades sobre la capacidad de construir representaciones de dimensiones superiores a través de productos tensoriales. Supongo que estoy buscando algo más fundamental sobre el Lie Algebra. Debería derivarse de algo más general.
Sí lo hace; es posible que deba reemplazar su texto con uno superior .
Ch IV, p 29, sobre la unicidad de los invariantes bilineales hasta un número.

qmecanico · Answer 1

De manera más general, que se dé una $n$ álgebra de mentira compleja -dimensional $(L, [\cdot,\cdot])$ .

La representación adjunta ${\rm ad}:L\to {\rm End}(L)$ Se define como
$\begin{matrix} (1) & (a d X) y := [X, y], X, y \in L . \end{matrix}$ $({\rm ad}x)y~:=~[x,y], \qquad x,y~\in~L.\tag{1}$
La forma de matar $\kappa:L\times L\to \mathbb{C}$ Se define como
$\begin{matrix} (2) & k (X, y) := t r (a d X \circ a d y), X, y \in L, \end{matrix}$ $\kappa(x,y)~:={\rm tr}({\rm ad}x \circ {\rm ad}y), \qquad x,y~\in~L, \tag{2}$ es bilineal, simétrica, asociativa. Es no degenerado iff $L$ es semisencillo .
Se puede demostrar que cualquier forma asociativa bilineal, simétrica $L\times L\to \mathbb{C}$ es proporcional a la forma de Matar $\kappa$ si $L$ es sencillo _
Dada una base arbitraria $(t_a)_{a=1,\ldots, n}$ para $L$ , define las constantes de estructura $f_{ab}{}^c\in\mathbb{C}$ a través de
$\begin{matrix} (3) & [t_{a}, t_{b}] = \sum_{C = 1}^{norte} F_{a b}^{C} t_{C}, a, b \in {1, \dots, norte} . \end{matrix}$ $[t_a,t_b]~=~\sum_{c=1}^nf_{ab}{}^ct_c , \qquad a,b~\in~\{1,\ldots, n\}. \tag{3}$
Definir la métrica Killing
$\begin{matrix} (4) & k_{a b} := k (t_{a}, t_{b}), a, b \in {1, \dots, norte} . \end{matrix}$ $\kappa_{ab}~:=~\kappa(t_a,t_b) , \qquad a,b~\in~\{1,\ldots, n\}.\tag{4}$
Se puede demostrar que las constantes de estructura reducidas
$\begin{matrix} (5) & F_{a b C} := \sum_{d = 1}^{norte} F_{a b}^{d} k_{d C} a, b, C \in {1, \dots, norte}, \end{matrix}$ $f_{abc}~:=~\sum_{d=1}^nf_{ab}{}^d\kappa_{dc}\, \qquad a,b,c~\in~\{1,\ldots, n\},\tag{5}$ son siempre totalmente antisimétricos en los índices $abc$ .
Es posible elegir la base. $(t_a)_{a=1,\ldots, n}$ tal que la métrica Killing $\kappa_{ab}$ es diagonal; y en el caso semisimple, tal que $\kappa_{ab}$ es proporcional a la identidad $\delta_{ab}$ .

petra ajolote · Answer 2

A continuación se muestra un esquema de prueba.

Definir $(a,b)_X \equiv \mathrm{Tr}(X^a X^b)$ dónde $a$ y $b$ son generadores de un álgebra de Lie y $X$ es una representación arbitraria. $(a,b)_{\textbf{ad}}$ , dónde $\textbf{ad}$ representa la representación adjunta, también se denomina forma de Matar y, a menudo, se denota como $\langle a,b \rangle$ .

Hay algunas definiciones que son útiles.

Forma bilineal : Ver este enlace para su definición. Darse cuenta de $(\cdot,\cdot)_X$ en general, y $\langle \cdot, \cdot \rangle$ en particular, son formas bilineales.
Forma bilineal no degenerada : Ver este enlace para su definición. Hay un teorema debido a Cartan que $\langle \cdot,\cdot \rangle$ es no degenerado si y solo si el álgebra es semisimple.
Forma bilineal invariable : una forma bilineal $B$ de un álgebra de Lie es invariante si $B([x,y], z) = B([x,[y, z])$ para cada $x$ , $y$ , y $z$ en el álgebra. De nuevo, observe que $(\cdot,\cdot)_X$ en general, y $\langle \cdot,\cdot \rangle$ en particular, son formas bilineales invariantes. Esto se puede mostrar a través del cálculo directo.

( $(a,b)_X$ también es simétrica en $a$ y $b$ . Pero realmente no nos importa esta propiedad para esta prueba).

Ahora viene la parte crítica. Existe un teorema de que cualquier forma bilineal invariante de un álgebra de Lie simple es proporcional a la forma de Killing. Su prueba se puede encontrar aquí .

En el libro de Georgi (Sectoin 2.4), se explica en detalle que para cualquier álgebra de Lie compacta, podemos elegir una base tal que $\langle a, b \rangle = \lambda \delta_{ab}$ . Una vez hecho esto, tenemos automáticamente $(a, b)_X = \lambda_X \delta_{ab}$ para cada representación $X$ , asumiendo que el álgebra también es simple.

Aarón · Answer 3

Aarón

Como dices, está claro que

Tr [T^{a} T^{b}] = Tr [T^{b} T^{a}]

$\begin{equation} \text{Tr} [T^aT^b] = \text{Tr} [T^bT^a] \end{equation}$ Por lo tanto, esto define claramente alguna matriz simétrica, que podemos diagonalizar. A través de la linealidad de la traza, este procedimiento también nos permite construir una nueva base para la cual el deseado

Tr [T^{a} T^{b}] = δ^{a b}

$\text{Tr}[T^aT^b] = \delta^{ab}$ sostiene Tenga en cuenta que no tenemos ninguna representación especializada, por lo que generalmente se permite.

Otra forma de pensar en esto es tratar la forma de Cartan-Killing como un producto escalar para álgebras de Lie. El hecho de que sea una forma bilineal simétrica le permite diagonalizar su espacio vectorial de modo que el producto escalar se convierta en identidad.

Creo que la afirmación de que "dada una elección de constantes de estructura en una base (por ejemplo, adjunta) tal que la traza es $\delta^{ab}$ , para todas las demás representaciones que tienen el mismo conjunto de constantes de estructura, sus generadores también satisfacen la condición de traza" es falsa. Esto puede verse intuitivamente por el hecho de que las constantes de estructura fijan los conmutadores, mientras que la traza fija los anticonmutadores; genéricamente estos no deberían estar relacionados (aunque no tengo un contraejemplo explícito).

En el caso especial de la fundamental y la adjunta, sin embargo, están de hecho relacionadas con la misma elección de constantes de estructura, como señala Cosmas Zachos. Esto se debe al hecho especial de que el adjunto se define a partir de la fundamental, es decir. la elección básica entre los dos tiene buenas razones para estar muy bien relacionados entre sí.

nox

Sí, estoy de acuerdo con esto en principio. Sin embargo, la forma Cartan-Killing se define en el adjunto. La cosa es: una vez que fijo la base para la gens en el adjunto, he fijado las constantes de estructura (y su escala) y estas son independientes de rep. Así que no es obvio para mí que pueda ir a otra repetición (fundamental, digamos) y esperar encontrar la forma ortonormal. Si luego transformo o escalo la similitud, probablemente romperé la forma en el adjunto ya que mis constantes de estructura habrán sido modificadas. ¿Tienes algún comentario sobre esto?

Aarón

Quizás llamarlo una forma de Asesinato de Cartan es el punto de confusión. El único ingrediente necesario es la traza, que al actuar sobre dos operadores es simétrica y bilineal. Esta declaración es independiente de la representación; no hay necesidad de especificar el representante adjunto para los operadores por este argumento. Como dices, en general no espero que haya una relación entre las bases en diferentes representaciones.

nox

Bueno, este es mi punto: una vez que arreglo el trazo en una repetición, esto selecciona la generación de esa repetición pero también fija las constantes de estructura para todas las repeticiones. Luego, en otro representante, si quiero mantener las mismas constantes de estructura (supuestamente independientes del representante), entonces ya no puedo jugar con el rastro. Soy ese otro representante. ¿Ves mi dilema?

Aarón

¿Está seguro de que arreglar el trazo en una forma (por ejemplo, adjunto) lo arregla para todas las repeticiones si conserva las constantes de estructura? Puedo estar equivocado, pero genéricamente no creo que la huella tenga la misma forma en otras representaciones si conservas las constantes de estructura; preservar la conmutación no preserva la multiplicación.

nox

Esa es precisamente mi pregunta: no creo que arregle la trazada en todas las repeticiones. Sin embargo, debo mantener las constantes de estructura, porque son independientes de las reps (fijadas por la suavidad y el producto del grupo), lo que me lleva a creer que una vez que fijo la forma en una repetición, no tengo más libertad para fijarla en otra repetición. Es inducido por el requisito de satisfacer el Álgebra de Lie con las constantes de estructura fijadas al diagonalizar la forma en el adjunto. ¡Su duda en el comentario anterior es esencialmente una nueva redacción de mi pregunta!

Aarón

Esta bien, lo entiendo ahora. Primero, creo que es un poco confuso pensar en las constantes de estructura como "independientes de las repeticiones". Si bien es cierto que se puede definir un álgebra de Lie en función de las constantes de estructura, las constantes de estructura no determinan únicamente un álgebra de Lie. Pensando en esto a la inversa, las constantes de estructura son un objeto dependiente de la base. Dado esto, generalmente no es útil "conectar representantes" insistiendo en un conjunto de constantes de estructura; por lo general, desea evitar hablar explícitamente sobre una base hasta que sea conveniente (por ejemplo, para tener un buen rastro).

nox

Las constantes de estructura son independientes bajo la transformación de similitud de los generadores (en cualquier repetición) y cambian bajo una transformación lineal (T -> LT). Pero piense esto: fije un grupo (digamos SU(2) ) y calcule los conmutadores de los generadores en alguna repetición; hacer transformaciones lineales hasta que la traza sea diagonal. Decimos "las constantes de estructura de SU(2) son

f_{i j k} = ϵ_{i j k}

$f_{ijk} = \epsilon_{ijk}$ . No dirías que estos dependen del representante. Para otro representante, buscaría generadores de diferentes dimensiones que satisfagan el álgebra del conmutador con estas mismas constantes de estructura. Son representantes independientes.

nox

Así que sepa que tiene constantes de estructura fijas; incluso tienes generadores en alguna repetición (que usaste para encontrar las constantes de estructura) para los cuales

t r (T^{a} T^{b}) = λ δ^{a b}

$tr(T^{a}T^{b}) = \lambda \delta^{ab}$ . Excelente. Así que no, queremos encontrar otro representante, encontramos algunos

{S^{a}}

$\{S^{a}\}$ tal que

[S^{a}, S^{b}] = i f_{a b c} S^{c}

$[S^{a}, S^{b}] = if_{abc}S^{c}$ con estas mismas constantes de estructura. \\ ¿Cómo diablos deduzco que

t r (S^{a} S^{b})

$tr(S^{a}S^{b})$ sera diagonal? La traza es invariable bajo la transformación de similitud y no puedo hacer una transformación lineal sin cambiar las constantes de estructura.

nox

He agregado un ejemplo basado en SU (2) a la pregunta.

Aarón

Creo que la prueba que buscas no existe; Creo que esa afirmación es falsa. Sucede que es cierto para la fundamental y la adjunta, pero solo porque es un caso especial. No entiendo por qué debe insistir en preservar las constantes de estructura. Si está preguntando específicamente sobre el fundamental y el adjunto, esa es una pregunta diferente.

nox

Estoy empezando a creer que no existe también. Pero para responder a su pregunta sobre la preservación de las constantes de estructura, me refiero a mi comentario anterior y edición de la pregunta. Si te pregunto cuáles son las constantes de estructura de un grupo, digamos SU(3), no me preguntas en qué representación. Solo me dices un conjunto de números y sé que son las constantes de estructura en todas las representaciones (con una base elegida). Mi punto es que la base se elige para diagonalizar la forma en una repetición, y no veo una garantía de que sea diagonal en todas las repeticiones.

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