Descomposición de Representación Multiplicación

Las representaciones dadas no son muy grandes, lo que hace que el cálculo a partir de primeros principios no sea muy engorroso. Aquí sigo a Slansky . Cabe destacar que existen métodos (combinatorios y otros) que reducen la complejidad computacional de algunos de los siguientes pasos, pero requieren una teoría de representación más avanzada que la teoría de Cartan-Weyl que se va a utilizar.

Los pesos más altos de las representaciones bajo consideración son (Slansky: tabla 36):

$8_v: [1, 0, 0, 0]$

$8_+: [0, 0, 1, 0]$

$8_-: [0, 0, 0, 1]$

$56_v: [0, 0, 1, 1]$

La matriz de Cartan de$SO(8)$viene dada por: (Slansky: tabla 6)

$$\begin{pmatrix} 2& -1 & 0& 0 \\ -1& 2&-1 & -1\\ 0 & -1 &2 &0 \\ 0& -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Los diagramas de peso de las representaciones del espinor se pueden construir utilizando el método descrito por Slansky: página 31, que se puede resumir de la siguiente manera: Partiendo del peso más alto, si el$i$-th componente del peso es un entero positivo$n_i$, entonces el peso primitivo$\alpha_i$se resta$n_i$veces. Si el componente es cero o negativo, no se realiza ninguna resta. Este procedimiento se repite hasta que se alcanza un peso negativo (el peso más bajo).

Este procedimiento no da la multiplicidad del peso, y básicamente en cada etapa se debe calcular la multiplicidad del peso. Pero en nuestro caso, las representaciones están libres de multiplicidad, como lo revela el simple conteo, por lo que nos salvamos de esta tarea computacionalmente compleja.

El diagrama de peso de$8_+$

$$\begin{matrix} &[0,0,1,0] & \\ & \downarrow \alpha_3& \\ & [0,1,-1,0] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [1,-1,0,1] & \\ & \alpha_1\swarrow \searrow\alpha_4 & \\ [-1,0,0,1] & & [1,0,0,-1] \\ &\alpha_4\searrow \swarrow \alpha_1 & \\ & [-1, 1 ,0, -1] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[0, -1 ,1, 0] & \\ & \downarrow \alpha_3& \\ & [0, 0, -1, 0] & \end{matrix}$$

El diagrama de peso de$8_-$

$$\begin{matrix} &[0,0,0,1] & \\ & \downarrow \alpha_4& \\ & [0,1,0,-1] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [1,-1,1,0] & \\ & \alpha_1\swarrow \searrow\alpha_3 & \\ [-1,0,1,0] & & [1,0,-1,0] \\ &\alpha_3\searrow \swarrow \alpha_1 & \\ & [-1, 1 ,-1, 0] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[0, -1 ,0, 1] & \\ & \downarrow \alpha_4& \\ & [0, 0, 0, -1] & \end{matrix}$$

Ahora los pesos del producto tensorial son los$64$combinaciones de todas las sumas posibles de un peso de$8_+$y un peso de$8_-$. Estas combinaciones se enumeran en el apéndice al final de esta respuesta. Los pesos positivos en esta lista son los candidatos de los pesos más altos de la descomposición de suma directa de representación. Se nota que esta lista incluye los siguientes pesos positivos:

$[0, 0, 1, 1]$: Una copia

$[1, 0, 0, 0]$: 4 copias

El primer peso es el peso más alto de$56_v$, y el segundo de$8_v$. Pero mirando el diagrama de peso de$8_v$:

$$\begin{matrix} &[1,0,0,0] & \\ & \downarrow \alpha_1& \\ & [-1,1,0,0] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [0,-1,1,1] & \\ & \alpha_3\swarrow \searrow\alpha_4 & \\ [0,0,-1,1] & & [0,0,1,-1] \\ &\alpha_4\searrow \swarrow \alpha_3 & \\ & [0, 1 ,-1, -1] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[1, -1 ,0, 0] & \\ & \downarrow \alpha_1& \\ & [-1, 0, 0, 0] & \end{matrix}$$

se observa que el diagrama es simétrico, el negativo de cualquier peso también es un peso, recordando que$56_v$es el producto tensorial antisimétrico de 3 copias de$8_v$, por lo que cada peso de$56_v$es el producto tensorial antisimétrico de tres pesos distintos de$8_v$, vemos que el peso más alto puede combinarse en tres combinaciones a un peso distinto y su negativo, así el peso$[1, 0, 0, 0]$aparecerá como un peso intermedio tres veces en$56_v$, por lo que tres de las cuatro apariciones de$[1, 0, 0, 0]$en el producto tensorial no hay pesos más altos, por lo que nos quedamos con$56_v: [0, 0, 1, 1]$y una sola copia de$8_v: [1, 0, 0, 0]$. Por supuesto, la dimensión de la suma directa concuerda con la dimensión del producto directo.

Apéndice: Los pesos de la representación directa del producto

$$\begin{matrix} &[ 0, 0, 1, 1]& \\ &[ 0, 1, -1, 1]& \\ &[ 1, -1, 0, 2]& \\ &[-1, 0, 0, 2]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 0, 1, 1, -1]& \\ &[ 0, 2, -1, -1]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 1, 1, 0, -2]& \\ &[-1, 2, 0, -2]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 2, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[ 2, -2, 1, 1]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 2, -1, 1, -1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 1, -2, 2, 0]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 2, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[-2, 0, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[-2, 1, 1, -1]& \\ &[-1, -1, 2, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 1, -2, 0]& \\ &[ 2, -1, -1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 2, 0, -1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, -2, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[-1, 2, -2, 0]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[-2, 1, -1, 1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[-2, 2, -1, -1]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, -2, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 1, -2, 0, 2]& \\ &[-1, -1, 0, 2]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 0, -2, 1, 1]& \\ &[ 0, -1, -1, 1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, -2]& \\ &[-1, 1, 0, -2]& \\ &[ 0, -1, 1, -1]& \\ &[ 0, 0, -1, -1]& \end{matrix}$$