¿Es el teorema de Green-Tao una consecuencia del teorema de Euler?

La conjetura de Erdős-Turán establece que

Si A ⊂ norte es tal que

∑ norte ∈ A 1 norte = ∞ ,
entonces A contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud dada.

me interesa cuando A es el conjunto de todos los números primos. En este caso, sabemos que, por el teorema de Euler,

∑ pag  principal 1 pag = ∞ .

Entonces tenemos el Teorema de Green-Tao:

La secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

¿Es el teorema de Green-Tao una consecuencia del teorema de Euler? En otras palabras, en la demostración del teorema de Green-Tao se utiliza el teorema de Euler.

Sí, la conjetura de Green-Tao se deriva del teorema de Euler condicionalmente a Erdos-Turan. Pero recuerda que la conjetura de Erdos-Turan es todavía un problema abierto en CNT, por lo que realmente no sabemos si es verdad (¡aunque apuesto a que lo es!)
El caso especial de las progresiones aritméticas de 3 términos fue probado recientemente por Bloom y Sisask: arxiv.org/abs/2007.03528 . Esto puede llamarse justificadamente el caso "más fácil", ya que los 3-AP están controlados por el análisis de Fourier que está muy bien desarrollado, mientras que ahora sabemos que el análisis de orden superior es esencial para comprender las progresiones más largas.

Respuestas (1)

Terence Tao tiene un artículo en su sitio web

http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Expository/gy-corr.dvi

explicando que la única información sobre los números primos necesaria para la prueba de Green-Tao es que ζ ( s ) tiene un polo simple en s = 1 .

Ese comportamiento de zeta es equivalente a la "función zeta principal" ∑ 1 pag s que tiene una singularidad logarítmica en el mismo punto, de modo que ∑ 1 pag s − registro ⁡ ( 1 s − 1 ) es analítico cerca s = 1 . Esto es un poco más que la divergencia de ∑ 1 pag , pero se puede probar por el mismo método que la prueba de la divergencia de Euler.

Una interpretación vaga de esto es que en muchos lugares del artículo de Green-Tao, las suposiciones de densidad natural pueden (probablemente) ser reemplazadas por afirmaciones más débiles sobre la densidad de Dirichlet.

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