Patrón interesante en la trama que involucra números primos

Como sugirió Vepir en su comentario, las curvas corresponden a números primos consecutivos con diferentes espacios entre números primos. El de arriba, por ejemplo, corresponde a pares de primos gemelos. Eso es

$$\frac{n+1}{p_{n+1}}-\frac{n}{p_n} = \frac{n+1}{p_{n}+2}-\frac{n}{p_n}$$

Las curvas se pueden aproximar usando la aproximación conocida para el$n$-th primo. Por ejemplo, sabemos que$p_n \approx n\,(\log n + \log\log n -1)$.

Así es como se ve esa aproximación para la curva en la parte superior.

Las curvas en la parte inferior corresponden a pares de números primos consecutivos con espacios primos más grandes, que naturalmente ocurren con menos frecuencia.

Tenga en cuenta que

$$f(n)={1\over p_{n+1}}-n\left({1\over p_n}-{1\over p_{n+1}}\right)={1\over p_{n+1}}-{ng_n\over p_np_{n+1}}\approx{1\over n\ln n+g_n}\left(1-{g_n\over\ln n}\right)$$

dónde$g_n=p_{n+1}-p_n$y hemos usado la aproximación asintótica cruda$p_n\approx n\ln n$. De manera muy aproximada, estamos viendo la familia de curvas

$$f_k(x)={1\over x\ln x+2k}\left(1-{2k\over\ln x}\right)$$

con$k=1,2,3,\ldots$. Estas curvas se comportan cualitativamente de forma muy parecida a lo que ha observado el OP; su desacuerdo cuantitativo -- la curva con$2k=6$tiene un valor pico de aproximadamente$.00002$en$x\approx873$, en lugar de$.00005$cerca$500$-- se debe a la tosquedad de la aproximación$p_n\approx n\ln n$. Usando la mejor aproximación mencionada en la respuesta de jjagmath,$p_n\approx n(\ln n+\ln\ln n-1)$, se obtiene una curva (por$2k=6$) con un pico de aproximadamente$.00004$en$x\approx431$, que se acerca más a los valores del OP.

En respuesta a la última pregunta del punto final del OP, la escasez de las líneas inferiores se deriva, heurísticamente, del hecho de que grandes brechas principales (es decir, grandes valores de$2k$) tardan un tiempo en hacer efecto y siguen siendo relativamente raros entre los primeros$10{,}000$primos