El mismo número de factores primos y dígitos decimales.

Un entero positivo, n, donde el número de sus dígitos decimales (base 10) es igual al número de sus distintos factores primos tiene un límite superior (hay un máximo de n).

¿Alguien sabe la prueba de esto?

Pensando en establecer una relación entre número de dígitos y número de lugares decimales (y 10 X < norte ) y demostrando que n tiene una cota superior. He intentado vincular el hecho de que el número de números primos ≤ norte es norte en ⁡ norte , pero parece que no puede encontrar un buen enlace.

Bienvenido a MSE. ¿Qué has probado?
Pensando en establecer una relación entre el número de dígitos y el número de lugares decimales (y 10^x < n) y demostrando que n tiene un límite superior. He intentado vincular el hecho de que el número de primos <= n es n/(lnn), pero parece que no puedo encontrar un buen vínculo.
Debes agregar esto en el cuerpo de la pregunta. A menudo, las preguntas similares a la suya se cerrarán por falta de contexto. Escribir tu intento resuelve el problema y es más probable que obtengas una respuesta.
Genial, gracias por la edición. Además, cuando tenga algo de tiempo libre, puede aprender a formatear matemáticas en MSE usando MathJax .

Respuestas (2)

Para cualquier norte -dígito X tenemos X < 10 norte . Dejar pag i ser el i -th primo. Si X tiene norte dígitos y norte factores primos distintos, tenemos que

pag 1 pag 2 … pag norte ≤ X < 10 norte .

Por lo tanto, todo lo que se necesita para terminar la demostración es demostrar que

pag 1 pag 2 … pag norte ≥ 10 norte
para todos menos un número finito de enteros positivos norte . ¿Puedes hacer eso?

Entonces, hago lg en ambos lados y muestro n < la suma de los logaritmos, por lo tanto, ¿tiene un límite superior?
@Jacob, sí. Si norte es lo suficientemente grande,
∑ i = 1 norte registro ⁡ pag i > 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + … + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + … + 1 = norte .
aunque no entiendo muy bien el "0+0+0+0+1+…+1+2+2+2+2+1+…+1"...
@Jacob, deja pag k = 101 . Entonces 0 < registro ⁡ pag i < 1 , para i = 1 , 2 , 3 , 4 , 1 < registro ⁡ pag i < 2 para i = 5 , … , k − 1 , y 2 < registro ⁡ pag i para i ≥ k . Así, tenemos registro ⁡ pag i > 1 para todos menos i = 1 , 2 , 3 , 4 , y lo compensamos con registro ⁡ pag k + registro ⁡ pag k + 1 + registro ⁡ pag k + 2 + registro ⁡ pag k + 3 > 2 + 2 + 2 + 2 . Entonces, " norte suficientemente grande" significa norte ≥ k + 3 .

¿Qué tal un enfoque diferente?

Para hacerlo más fácil, voy a definir un número como maravilloso si y solo si el número de sus dígitos decimales (base 10) es igual al número de sus distintos factores primos.

Entonces,

  1. Sea x un número maravilloso con n dígitos.
  2. Sabemos que x es maravillosa, por lo que tiene n factores primos distintos.
  3. Para maximizar el número de factores primos distintos en x, deberíamos hacer que x sea la multiplicación de los factores primos más pequeños, en orden de números crecientes (es decir, x = 2*3*5*7*11 ... n primos)
  4. Sin embargo, los números primos después de 7 tienen al menos 2 dígitos, por lo que multiplicarlos por x hará que x aumente al menos 1 dígito en longitud.
  5. Esto puede continuar hasta después de 100, donde los primos después de 100 harán que x aumente en al menos 2 dígitos en longitud, pero solo agreguen 1 a la cantidad de factores primos distintos de x.
  6. Claramente, esto es insostenible y, finalmente, el maravilloso número x no puede agregar otra factorización prima única, ya que haría que x ganara más dígitos de los que la factorización prima distinta única agregaría al número de factores primos distintos de x.
  7. Si x se multiplica por un factor primo no distinto, eventualmente también aumentará en longitud, debido a la naturaleza de la multiplicación, pero no obtendrá una descomposición en factores primos distinta adicional, por lo que x tampoco será maravilloso.
  8. En algún momento, x no se puede aumentar más y seguir siendo maravilloso.
  9. Por lo tanto, los números maravillosos tienen un límite superior.
El mismo número de factores primos y dígitos decimales.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v