(¿Fácil?) consecuencia de la Hipótesis de Riemann

Question

(¿Fácil?) consecuencia de la Hipótesis de Riemann

Matemáticas
teoría de los números
números primos
hipótesis de riemann

Evangelion045

Estoy tratando de mostrar que la relación $\psi(x)=x+O(\sqrt{x}\log ^2 x)$ (consecuencia de la hipótesis de Riemann) implica $\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\log x)$ , dónde $Li(x)=\int_2^x \frac{dt}{\log t}$ .

No he logrado mucho hacia la solución de este ejercicio que parece fácil. Esto es lo que he hecho:

Como $\pi(x)\sim \psi(x)/\log x$ , obtenemos

π (X) = ψ (X) / registro X + O (ψ (X) / registro X) = X / registro X + O (\sqrt{X} registro X) + O (X / registro X) .

$\pi(x)= \psi(x)/\log x+O(\psi(x)/\log x)=x/\log x+O(\sqrt{x}\log x)+O(x/\log x).$ Usando la relación

L i (x) = x / \log x + \int_{2}^{x} \frac{d t}{l o g^{2} t} - 2 / \log 2

$Li(x)=x/\log x+\int_2^x\frac{dt}{log^2 t}-2/\log 2$ , obtenemos

π (X) = L i (X) + O (\sqrt{X} registro X) + O (X / registro X) - \int_{2}^{X} \frac{d t}{yo o {gramo}^{2} t} .

$\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x}\log x)+O(x/\log x)-\int_2^x\frac{dt}{log^2 t}.$ No puedo manejar los dos últimos términos porque supongo que no son grandes O de

\sqrt{x} \log x

$\sqrt{x}\log x$ . Agradecería cualquier orientación.

Debido a la respuesta de Greg Martin, he llegado a esta solución, ¿verdad?:

Supongamos que

ψ (X) = X + O (\sqrt{X} {registro}^{2} X) .

$\begin{equation} \psi(x)=x+O(\sqrt{x}\log^2 x).\end{equation}$ tenemos eso

ψ (X) - ϑ (X) = O (\sqrt{X} {registro}^{2} X)

$\begin{equation} \psi(x)-\vartheta(x)=O(\sqrt{x}\log^2 x)\end{equation}$ -demostración del teorema 4.1 del libro de Apostol-, entonces

mi (X) := ϑ (X) - X = O (\sqrt{X} {registro}^{2} X) .

$\begin{equation} E(x):=\vartheta(x)-x=O(\sqrt{x}\log^2 x).\end{equation}$ Por (1) y el teorema 4.2 de Apostol, obtenemos lo siguiente

π (X) - \int_{2}^{X} \frac{ϑ (t)}{t {registro}^{2} t} d t + \frac{ψ (X) - ϑ (X)}{registro X} = \frac{ϑ (X)}{registro X} + \frac{ψ (X) - ϑ (X)}{registro X} = \frac{X}{registro X} + O (X^{1 / 2} registro X) .

$\begin{equation} \pi(x)-\int_2^x\frac{\vartheta(t)}{t\log^2 t}dt+\frac{\psi(x)-\vartheta(x)}{\log x}=\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\frac{\psi(x)-\vartheta(x)}{\log x}=\frac{x}{\log x}+O(x^{1/2}\log x).\end{equation}$ Entonces

\begin{array}{rcl} π (X) & = & \frac{X}{registro X} + O (X^{1 / 2} registro X) + \int_{2}^{X} \frac{ϑ (t)}{t {registro}^{2} t} d t + \frac{ϑ (X) - ψ (X)}{registro X} \\ = & \frac{X}{registro X} + O (X^{1 / 2} registro X) + \int_{2}^{X} \frac{ϑ (t)}{t {registro}^{2} t} d t + \frac{ϑ (X) - X - O (X^{1 / 2} {registro}^{2} X)}{registro X} \\ = & \frac{X}{registro X} + O (X^{1 / 2} registro X) + \int_{2}^{X} \frac{ϑ (t)}{t {registro}^{2} t} d t + \frac{mi (X)}{registro X} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \pi(x) &=& \frac{x}{\log x}+O(x^{1/2}\log x)+\int_2^x\frac{\vartheta(t)}{t\log^2 t}dt+\frac{\vartheta(x)-\psi(x)}{\log x} \\ & = & \frac{x}{\log x}+O(x^{1/2}\log x)+\int_2^x\frac{\vartheta(t)}{t\log^2 t}dt+\frac{\vartheta(x)-x-O(x^{1/2}\log^2 x)}{\log x} \\ & = &\frac{x}{\log x}+O(x^{1/2}\log x)+\int_2^x\frac{\vartheta(t)}{t\log^2 t}dt+\frac{E(x)}{\log x}. \end{eqnarray}$ Pero

L i (X) = \frac{X}{registro X} + \int_{2}^{X} \frac{d t}{{registro}^{2} t} - \frac{2}{registro 2},

$\begin{equation} Li(x)=\frac{x}{\log x}+\int_2^x\frac{dt}{\log^2 t}-\frac{2}{\log 2}, \end{equation}$ entonces obtenemos

\begin{array}{rcl} π (X) & = & L i (X) - \int_{2}^{X} \frac{d t}{{registro}^{2} t} + \frac{2}{registro 2} + O (\sqrt{X} registro X) + \int_{2}^{X} \frac{ϑ (t)}{t {registro}^{2} t} d t + \frac{mi (X)}{registro X} \\ = & L i (X) + \int_{2}^{X} \frac{mi (t)}{t {registro}^{2} t} d t + \frac{mi (X)}{registro X} + O (\sqrt{X} registro X) \\ = & L i (X) + \int_{2}^{X} \frac{O (\sqrt{t} {registro}^{2} t)}{t {registro}^{2} t} d t + O (\sqrt{X} registro X) \\ = & L i (X) + O (\int_{2}^{X} \frac{\sqrt{t} {registro}^{2} t}{t {registro}^{2} t} d t) + O (\sqrt{X} registro X) \\ = & L i (X) + O (2 \sqrt{X} - 2 \sqrt{2}) + O (\sqrt{X} registro X) \\ = & L i (X) + O (\sqrt{X} registro X) . \end{array}

$\begin{eqnarray} \pi(x) & = & Li(x)-\int_2^x\frac{dt}{\log^2 t}+\frac{2}{\log 2}+O(\sqrt{x}\log x)+\int_2^x\frac{\vartheta(t)}{t\log^2 t}dt+\frac{E(x)}{\log x}\\ & = & Li(x)+\int_2^x\frac{E(t)}{t\log^2 t}dt+\frac{E(x)}{\log x}+O(\sqrt{x}\log x)\\ & = & Li(x)+\int_2^x\frac{O(\sqrt{t}\log^2 t)}{t\log^2 t}dt+O(\sqrt{x}\log x) \\ & = & Li(x)+O(\int_2^x\frac{\sqrt{t}\log^2 t}{t\log^2 t}dt)+O(\sqrt{x}\log x)\\ & = & Li(x)+O(2\sqrt{x}-2\sqrt{2})+O(\sqrt{x}\log x)\\ & = & Li(x)+O(\sqrt{x}\log x). \end{eqnarray}$

Esto es válido para $x\geq 2$ .

Will Jagy

¿De qué libro es esto? ¿Que Página?

Evangelion045

No lo he encontrado en los libros que estamos usando para este tema (apostol, notas de hildebrands). Este ejercicio está en una hoja de trabajo que nos dio.

Respuestas (1)

(¿Fácil?) consecuencia de la Hipótesis de Riemann

No lo he encontrado en los libros que estamos usando para este tema (apostol, notas de hildebrands). Este ejercicio está en una hoja de trabajo que nos dio.

greg martin · Answer 1

La forma tradicional de mostrar esta implicación es usando la suma parcial. Primero reemplazar $\psi(x)$ por $\theta(x)+O(\sqrt x)$ (Esperemos que eso sea conocido o fácil). si establecemos $E(x) = \theta(x)-x$ , entonces (usando $2^-$ para denotar un número real un poco más pequeño que $2$ )

\begin{aligned} π (X) - L i (X) & = \int_{2^{-}}^{X} \frac{1}{registro t} d θ (t) - \int_{2}^{X} \frac{d t}{registro t} \\ = \int_{2^{-}}^{X} \frac{1}{registro t} d (θ (t) - t) = \int_{2^{-}}^{X} \frac{1}{registro t} d mi (t) \\ = \frac{mi (t)}{registro t} |_{2^{-}}^{X} - \int_{2^{-}}^{X} mi (t) d (\frac{1}{registro t}) \\ = \frac{mi (X)}{registro X} + O (1) + \int_{2}^{X} \frac{mi (t)}{t {registro}^{2} t} d t . \end{aligned}

$\begin{align*} \pi(x)-Li(x) &= \int_{2^-}^x \frac{1}{\log t} \,d\theta(t) - \int_2^x \frac{dt}{\log t} \\ &= \int_{2^-}^x \frac{1}{\log t} \,d(\theta(t)-t) = \int_{2^-}^x \frac{1}{\log t} \,dE(t) \\ &= \frac{E(t)}{\log t}\bigg|_{2^-}^x - \int_{2^-}^x E(t)\,d\bigg(\frac1{\log t}\bigg) \\ &= \frac{E(x)}{\log x} + O(1) + \int_{2}^x \frac{E(t)}{t\log^2 t}\,dt. \end{align*}$ (Si no se siente cómodo con estas integrales de Riemann-Stieltjes, puede probar a mano que

π (x) - L i (x)

$\pi(x)-Li(x)$ es igual a la penúltima expresión). En este punto, puede ingresar el límite hipotético en

E (t)

$E(t)$ .

Hola Greg, gracias por tu respuesta. Tengo las siguientes dudas: la igualdad de pi(x) con la primera integral, ¿podría estar justificada por el teorema 6.16 en Baby Rudin?; en el siguiente paso, ¿es integración por partes?. No estoy totalmente familiarizado con la integración de Riemann-Stieltjes, pero tampoco estoy familiarizado. Gracias.
Pasar de la segunda a la tercera línea sí es integración por partes. Para la primera igualdad, estamos usando el hecho: si $f(t)$ es continuo y $g(t) = \sum_{n\le t} a_n$ , entonces $\sum_{norte \leq X} F (norte) a_{norte} = \int^{X} F (t) d gramo (t) .$ $\sum_{n\le x} f(n)a_n = \int^x f(t) \,dg(t).$ (No sé si esto es lo que dice el bebé Rudin. Tal vez $f$ debe ser de variación acotada también.)
Gracias. Todo está claro ahora (supongo). Probé la solución sin la integración de Riemann-Stieltjes; ¿Es correcto?

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