(Hiper)superficie de simultaneidad [cerrado]

¿Cómo puedo determinar las superficies de simultaneidad si conozco la métrica? En particular, cuáles son las superficies de simultaneidad para disco giratorio con métrica de Langevin:

d s 2 = − ( 1 − ω 2 r 2 ) d t 2 + 2 r 2 ω d ϕ d t + d r 2 + r 2 d ϕ 2 + d z 2
dónde ω es una velocidad angular constante?

¿Qué es una "superficie de simultaneidad"?
@ACuriousMind ¡Esa es mi pregunta también! Creo que es la superficie que es ortogonal al eje del tiempo.
No hay un "eje de tiempo" único en una variedad lorentziana general. Lo más cercano que obtendrá son campos vectoriales temporales dirigidos al futuro en todas partes, pero incluso esos no siempre existen, y no son únicos en ningún sentido. En otras palabras, a menos que pueda definir "superficie de simultaneidad", no creo que esta pregunta tenga respuesta.
@ACuriousMind Está bien. Tal vez debería editar mi pregunta. Un disco gira alrededor del eje z con velocidad angular con respecto a un sistema inercial (espacio de Minkowski). Ahora quiero determinar la superficie de simultaneidad. ¿Podría explicar mi pregunta con más precisión?
@ACuriousMind: supongo que el problema es que OP ha escuchado el término "Superficie de simultaneidad" en alguna parte y no puede entenderlo. Supongo que la pregunta podría resolverse si tuviéramos que averiguar qué significa eso. OP, ¿puede ayudarnos a explicar el contexto en el que se le presentó esto?
@Prahar Encontré esto cuando quería determinar la posibilidad de sincronización de reloj de un sistema giratorio con respecto al espacio de Minkowski. Sabemos que la métrica en tal sistema tiene la forma en que la escribí. Ahora quiero obtener la superficie (o hipersuperficie) de simultaneidad.
El problema es que "superficie de simultaneidad" no es, que yo sepa, un término técnico, por lo que no estoy seguro de qué tipo de superficie está buscando.
Uno de los resultados más básicos de la relatividad especial es que distintos eventos que aparecen simultáneamente en un marco inercial no aparecen así en otro. Dado que todos los marcos inerciales son igualmente válidos, se deduce inmediatamente que no existe una "superficie de simultaneidad" bien definida. Así que lo que buscas no existe.
Vi que esto apareció en la cola de revisión y, sinceramente, no está lo suficientemente bien planteado como para reabrirlo. El término 'superficie de simultaneidad' es bastante claro para mí (es decir, una subvariedad de dimensión 3 cuyos vectores tangentes son similares al espacio), pero como muestra la respuesta de Timeo, estos están lejos, lejos de ser únicos, y especificar una métrica hace poco para reducirlos . Dado que el OP se fue hace mucho tiempo (aparentemente, esta fue su única publicación) y no puede aclarar la pregunta, es mejor dejarlo cerrado; si la gente quiere que esto se vuelva a abrir, la mejor opción es volver a preguntar, teniendo en cuenta el problema de la no unicidad.

Respuestas (2)

¿Recuerda cómo hay múltiples superficies de simultaneidad en la relatividad especial? Lo mismo en relatividad general.

¿Recuerda cómo en la relatividad especial puede elegir un vector en algún lugar y encontrar una sola superficie de simultaneidad que tenga todos sus vectores tangentes como espaciales en todas partes y ortogonales a ese único vector temporal en ese evento?

Ese no es cierto en la relatividad general. Múltiples superficies podrían tener todos los vectores tangentes espaciales en todas partes y ser ortogonales a ese vector temporal en ese evento.

Esto no responde a la pregunta de cómo encontrar realmente las superficies.
@ 0celo7 La gramática de la pregunta original hizo que pareciera que querían una foliación invariable. ¿Esta edición hace que parezca que quieren una fórmula para cada superficie espacial posible? ¿O cada uno de los inextensibles? De cualquier manera, claro, ahora que se ha editado, simplemente eliminaré mi respuesta cuando llegue a una computadora.

En este caso particular, un simple cambio de variable en la coordenada angular puede separar la variable tiempo y mostrar que la superficie (local) de simultaneidad es siempre el espacio euclidiano 3d, o bien, siempre tiene una métrica euclidiana 3d:

Definir ϕ = ϕ ′ − ω t , tal que

d ϕ = d ϕ ′ − ω d t
y sustituir en la expresión original que define la métrica:
d s 2 = − ( 1 − r 2 ω 2 ) d t 2 + 2 r 2 ω ( d ϕ ′ − ω d t ) d t + d r 2 + r 2 ( d ϕ ′ − ω d t ) 2 + d z 2 = = − d t 2 + r 2 ω 2 d t 2 + 2 r 2 ω d ϕ ′ d t − 2 r 2 ω d t 2 + d r 2 + r 2 d ϕ ′ 2 + r 2 ω 2 d t 2 − 2 r 2 ω d ϕ ′ d t + d z 2 = = − d t 2 + d r 2 + r 2 d ϕ ′ 2 + d z 2 = − d t 2 + d σ 2
dónde d σ 2 = d r 2 + r 2 d ϕ ′ 2 + d z 2 es obviamente la métrica euclidiana en coordenadas cilíndricas.

En otras palabras, la métrica describe el espacio 3D como se ve desde un marco que gira localmente dado por ϕ ′ = ϕ + ω t .

(Hiper)superficie de simultaneidad [cerrado]
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