Fluido perfecto y ecuación de momento de Cauchy

Question

Fluido perfecto y ecuación de momento de Cauchy

usuario76284

El tensor tensión-energía de un fluido perfecto está dado por

T^{m v} = (ρ + pag C^{- 2}) {tu}^{m} {tu}^{v} + pag {gramo}^{m v}

$T^{\mu\nu}=\left(\rho+pc^{-2}\right)u^\mu u^\nu+pg^{\mu\nu}$

La divergencia del tensor esfuerzo-energía es cero : $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ . Por eso

\nabla_{m} (ρ + pag C^{- 2}) {tu}^{m} {tu}^{v} + \nabla_{m} pag {gramo}^{m v} = 0

$\nabla_\mu\left(\rho+pc^{-2}\right)u^\mu u^\nu+\nabla_\mu pg^{\mu\nu}=0$

Expandiendo el primer término y usando la regla del producto en el segundo término, se obtiene

\nabla_{m} ρ {tu}^{m} {tu}^{v} + \nabla_{m} pag C^{- 2} {tu}^{m} {tu}^{v} + (\nabla_{m} pag) {gramo}^{m v} + pag \nabla_{m} {gramo}^{m v} = 0

$\nabla_\mu\rho u^\mu u^\nu+\nabla_\mu pc^{-2}u^\mu u^\nu+\left(\nabla_\mu p\right)g^{\mu\nu}+p\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$

Usando la regla del producto una vez más en el primer término se obtiene

(\nabla_{m} ρ {tu}^{m}) {tu}^{v} + ρ {tu}^{m} \nabla_{m} {tu}^{v} + \nabla_{m} pag C^{- 2} {tu}^{m} {tu}^{v} + (\nabla_{m} pag) {gramo}^{m v} + pag \nabla_{m} {gramo}^{m v} = 0

$\left(\nabla_\mu\rho u^\mu\right) u^\nu+\rho u^\mu\nabla_\mu u^\nu+\nabla_\mu pc^{-2}u^\mu u^\nu+\left(\nabla_\mu p\right)g^{\mu\nu}+p\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$

Por la ecuación de continuidad , $\nabla_\mu\rho u^\mu=0$ . Por eso

ρ {tu}^{m} \nabla_{m} {tu}^{v} + \nabla_{m} pag C^{- 2} {tu}^{m} {tu}^{v} + (\nabla_{m} pag) {gramo}^{m v} + pag \nabla_{m} {gramo}^{m v} = 0

$\rho u^\mu\nabla_\mu u^\nu+\nabla_\mu pc^{-2}u^\mu u^\nu+\left(\nabla_\mu p\right)g^{\mu\nu}+p\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$

La divergencia del tensor métrico es cero : $\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$ . Por eso

ρ {tu}^{m} \nabla_{m} {tu}^{v} + \nabla_{m} pag C^{- 2} {tu}^{m} {tu}^{v} + (\nabla_{m} pag) {gramo}^{m v} = 0

$\rho u^\mu\nabla_\mu u^\nu+\nabla_\mu pc^{-2}u^\mu u^\nu+\left(\nabla_\mu p\right)g^{\mu\nu}=0$

Finalmente, usando la contracción del tensor en el último término se obtiene

ρ {tu}^{m} \nabla_{m} {tu}^{v} + \nabla_{m} pag C^{- 2} {tu}^{m} {tu}^{v} + \nabla^{v} pag = 0

$\rho u^\mu\nabla_\mu u^\nu+\nabla_\mu pc^{-2}u^\mu u^\nu+\nabla^{\nu}p=0$

Pasamos ahora a la ecuación del momento de Cauchy en las ecuaciones de Euler :

0 = ρ (\frac{\partial}{\partial t} + \vec{tu} \cdot \vec{\nabla}) \vec{tu} + \vec{\nabla} pag = ρ (C \nabla_{0} + \vec{tu} \cdot \vec{\nabla}) \vec{tu} + \vec{\nabla} pag

$0=\rho\left(\frac{\partial}{\partial t}+\vec{u}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{u}+\vec{\nabla}p= \rho\left(c\nabla_0+\vec{u}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{u}+\vec{\nabla}p$

Usando la aproximación no relativista $\gamma\approx1$ obtenemos:

0 \approx ρ (γ C \nabla_{0} + γ \vec{tu} \cdot \vec{\nabla}) γ \vec{tu} + \vec{\nabla} pag = ρ {tu}^{m} \nabla_{m} {tu}^{i} + \nabla^{i} pag

$0\approx \rho\left(\gamma c\nabla_0+\gamma\vec{u}\cdot\vec{\nabla}\right)\gamma\vec{u}+\vec{\nabla}p= \rho u^{\mu}\nabla_{\mu}u^i+\nabla^ip$

Compare esto con el resultado obtenido del tensor tensión-energía:

0 = ρ {tu}^{m} \nabla_{m} {tu}^{v} + \nabla_{m} pag C^{- 2} {tu}^{m} {tu}^{v} + \nabla^{v} pag

$0=\rho u^\mu\nabla_\mu u^\nu+\nabla_\mu pc^{-2}u^\mu u^\nu+\nabla^{\nu}p$

¿Por qué hay un término adicional ( $\nabla_\mu pc^{-2}u^\mu u^\nu$ )? ¿Se desvanece en el límite no relativista, simplemente por la $c^{-2}$ ¿factor?

danu

Para tomar el límite relativista de la ecuación de conservación de energía-cantidad de movimiento, haga la siguiente aproximación:

u^{i}

$u^i$ pequeño,

u^{0} \approx 1

$u^0\approx 1$ ,

\partial_{λ} u^{μ} = O (u^{i}) \forall μ, λ; p = O (u^{i})

$\partial_\lambda u^\mu= \mathcal O (u^i)\; \forall \mu,\lambda;\; p=\mathcal O(u^i)$ , y mantener sólo los términos de primer orden en

u^{i}

$u^i$ . Esto lleva a la ecuación correcta, al menos para mí.

Respuestas (1)

Fluido perfecto y ecuación de momento de Cauchy

Para tomar el límite relativista de la ecuación de conservación de energía-cantidad de movimiento, haga la siguiente aproximación: $u^i$ pequeño, $u^0\approx 1$ , $\partial_\lambda u^\mu= \mathcal O (u^i)\; \forall \mu,\lambda;\; p=\mathcal O(u^i)$ , y mantener sólo los términos de primer orden en $u^i$ . Esto lleva a la ecuación correcta, al menos para mí.

Tomás · Answer 1

Tenga en cuenta que $\nabla_\mu (\rho u^\mu)=0$ no es correcta (y no la ecuación de continuidad). Tenga en cuenta que (según su definición del tensor de tensión) $\rho$ es la densidad de energía, y la corriente de energía conservada es $T_{0\mu}$ .

La ecuación relativista de Euler (conservación del momento) es

D {tu}_{m} = - \frac{1}{ρ + PAG} \nabla_{m}^{⊥} PAG

$D u_\mu = -\frac{1}{\rho+P}\nabla_\mu^\perp P$ dónde

D = u^{μ} \nabla_{μ}

$D=u^\mu\nabla_\mu$ y

\nabla_{μ}^{⊥} = (g_{μ ν} - u_{μ} u_{ν}) \nabla^{ν}

$\nabla_\mu^\perp=(g_{\mu\nu}-u_\mu u_\nu)\nabla^\nu$ , lo que demuestra que la inercia relativista es la densidad de entalpía,

w = ρ + P

$w=\rho+P$ . En el límite no relativista,

u_{0} ≃ 1

$u_0\simeq 1$ ,

D

$D$ es la derivada comoviva,

w

$w$ es la densidad de masa, y

\nabla_{i}^{⊥} ≃ \nabla_{i}

$\nabla_i^\perp\simeq\nabla_i$ . Esto conduce a la ecuación estándar de Euler.

Estoy bastante seguro $\nabla_\mu(\rho u^\mu) = 0$ es la ecuación de continuidad correcta. Se mantiene en espacios-tiempos arbitrarios para cualquier fluido perfecto con densidad de masa en reposo conservada $\rho$ .
No. Si hay un número de partículas conservado, y si $\rho$ es la densidad de las partículas, y si $u_\mu$ se define como la velocidad de las partículas (el llamado marco de Eckart), entonces esta ecuación sería correcta. Pero, como se desprende claramente de la expresión para $T_{\mu\nu}$ , $\rho$ es la densidad de energía.
Tiene que ser la densidad de energía, de lo contrario, la fórmula para el tensor de tensión es incorrecta.
La terminología parece ser un problema aquí. Consulte la sección 3.2 ("Tensor de energía de tensión") en mathreview.uwaterloo.ca/archive/voli/2/olsthoorn.pdf . Afirma que ambos $T^{\mu\nu}=(\rho+p)u^{\mu}u^{\nu}+pg^{\mu\nu}$ (asumiendo $\epsilon=0$ ) y $\nabla_\mu(\rho u^{\mu})=0$ , por lo que ambas ecuaciones son correctas.
Creo que esto no es solo terminología. $T_{\mu\nu}=(\rho+P)u_\mu u_\nu+Pg_{\mu\nu}$ y $j_\mu=\rho u_\mu$ ambos no pueden ser correctos. Puedes considerar $\epsilon=0$ (en su notación) pero i) no existe tal fluido conocido por el hombre (presión finita pero energía interna cero), ii) la pregunta original no tiene sentido, porque estamos en el límite no relativista desde el principio.
No entiendo por qué estas ecuaciones no pueden ser ambas correctas. i) Tampoco existe un fluido perfecto, estrictamente hablando. Estos modelos son aproximaciones y podemos suponer que la energía interna es insignificante (en relación con otros parámetros). ii) ¿Qué quiere decir con 'estamos en el límite no relativista desde el principio'?
1) El fluido perfecto es una aproximación sistemática (las correcciones de gradiente pueden hacerse arbitrariamente pequeñas al considerar flujos uniformes y pueden contabilizarse orden por orden en la expansión del gradiente). 2) $\epsilon=0$ no es una aproximación sistemática. 3) Lo único que puedo imaginar es que $\epsilon=0$ corresponde a despreciar la energía interna en comparación con la densidad de energía de la masa en reposo, lo cual es razonable para un fluido no relativista. Todavía no hay una buena razón para abandonar $\rho\epsilon$ , pero manteniendo $P$ .

Fluido perfecto y ecuación de momento de Cauchy

usuario76284

danu

Respuestas (1)

Tomás

usuario10851

Tomás

Tomás

usuario76284

Tomás

usuario76284

Tomás

¿Cómo funciona la notación de 4 vectores?

¿Por qué el término espacial para el gradiente de 4 contravariantes es negativo, mientras que para otros 4 vectores es la parte covariante la que es espacialmente negativa?

(Hiper)superficie de simultaneidad [cerrado]

Confusión extrema con los tensores métricos

¿Índice tensorial en relatividad especial?

Preguntas sobre relatividad especial, índice en la matriz de Lorentz

¿Qué es el tensor de Lorentz con un índice de superíndice y subíndice?

¿Cómo probar la operación de subir/bajar índices?

Coordenadas covariantes y contravariantes - notación de índice

¿Qué significa contraer los índices de una matriz de Lorentz?