Confusión extrema con los tensores métricos

La confusión proviene del hecho de que aparentemente hay 2 conceptos involucrados en su pregunta, lo que hace que el tema sea bastante complicado. Los 2 conceptos son:

descripción del tensor métrico en forma dependiente de coordenadas (la forma clásica)

descripción del tensor métrico en forma libre de coordenadas (la forma moderna), que en realidad requiere el uso de formas diferenciales.

Es tan fácil escribir una ecuación como$e_i \cdot e_j = \delta_{ij}$, y parece tan intuitivo que uno no duda un momento en creerlo, pero detrás está la teoría bastante abstracta de los vectores tangentes y las formas diferenciales en las variedades. En esta teoría los símbolos$e_i$son vectores tangentes de un punto libremente elegido de una variedad, y en realidad se escriben como expresiones de derivadas parciales y en su pregunta se eligen para ser ortonormales. En 2 dim. variedad plana hay, por ejemplo, es nuestra elección, 2 vectores tangentes ortonormales$\frac{\partial}{\partial x}$y$\frac{\partial}{\partial y}$que tienen la (agradable) propiedad de ser ortonormales a sus correspondientes covectores${ dx , dy}$. (Los covectores son la base del espacio dual, aquí llamado espacio cotangente, que se define puntualmente, es decir, en cada punto de la variedad hay otro espacio tangente y otro espacio cotangente, etc...) Explícitamente:

$dx(\frac{\partial}{\partial x})=1$y$dy(\frac{\partial}{\partial y})=1$mientras$dy(\frac{\partial}{\partial x})=0$y$dx(\frac{\partial}{\partial y})=0$.

Ahora definimos lo que se entiende por$\cdot$el producto entre vectores tangentes. Para esto necesitamos el tensor métrico$g$que es un tensor simétrico$e_i \cdot e_j := g(e_i, e_j)$. Entonces, si nuestra base se elige para que sea ortonormal, entonces en realidad obtenemos:$e_i \cdot e_j = g(e_i, e_j)=\delta_{ij}$. Lo resolveremos un poco más. nuestro tensor$g$en realidad está en el formalismo de las formas diferenciales:

$g = dx \otimes dx + dy \otimes dy$

Si queremos conocer sus componentes tenemos que evaluarlo sobre la base de vectores (recordar$dx(\frac{\partial}{\partial x})=1$y$dy(\frac{\partial}{\partial y})=1$mientras$dy(\frac{\partial}{\partial x})=0$y$dx(\frac{\partial}{\partial y})=0$. ):

$e_x \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial x} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial x} ) = g_{xx} = 1+0= 1.$

$e_x \cdot e_y = g(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial y} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial y} ) = g_{xy} = 0 + 0 =0.$

$e_y \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial x})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial x} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial x} ) = g_{yx} =0 + 0 =0.$

$e_y \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y} ) = g_{yy}= 0 + 1 =1.$

Obtuvimos el resultado deseado, los vectores base son ortonormales según se requiera. ¿Qué sucede si cambiamos la métrica? Vamos a coordenadas polares$(r,\phi)$. (Recordar$(x,y) =(r cos\phi, r sin\phi)$, las siguientes derivadas se tienen que realizar usando esta definición) Con estas coordenadas podemos construir los siguientes vectores tangentes$\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \phi}\right)$. Los covectores correspondientes son$(dr, d\phi)$:

La métrica en coordenadas polares se ve así:$g = dr \otimes dr + r^2 d\phi \otimes d\phi$

$g_{rr}= g(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r} ) = 1 + 0 =1.$

$g_{r\phi}= g(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) = 0 + 0 =0.$

Si$r$y$\phi$en los vectores tangentes se intercambian, el resultado también es cero:$g_{\phi r}=0$.

$g_{rr}= g(\frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{ \partial}{\partial \phi})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{\partial}{\partial \phi} ) = 0 + r^2 =r^2$.

De hecho, encontramos que nuestros vectores tangentes elegidos son normales entre sí, pero no ortonormales. Esta bien. Esa es nuestra elección. El sistema base no necesita ser ortonormal. De hecho, podemos solucionar el problema fácilmente eligiendo$e_\phi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}$. Pero hay una pequeña advertencia. Hasta ahora nuestros covectores (los vectores duales de nuestros vectores tangentes) eran diferenciales totales. Eso ya no es posible para la nueva elección de coordenadas. El covector de$e_\phi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}$es$r d\phi$que ya no puede ser representado por un diferencial total. Tales bases se llaman anholonom. Son extremadamente prácticos para los cálculos, pero un poco antinaturales. Sin embargo, en el formalismo moderno de las formas diferenciales las encuentras por todas partes.

Finalmente, si aplica una transformación de coordenadas, los componentes del tensor métrico$g(e_i,e_j)$transformar de acuerdo con la regla

$g(e'_i,e'_j) = \frac{\partial x^k}{\partial x'^i} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} g(e_k,e_l)$. La suma se lleva a cabo sobre índices de doble aparición.

Transformación de coordenadas polares (sin imprimar) a coordenadas cartesianas (con imprimación): Primero sabemos de nuestros cálculos anteriores (usaremos las coordenadas del holónoma$(r,\phi)$):$g_{rr}=1$,$g_{r\phi}=0$, y$g_{\phi\phi}=r^2$. Con esto en mente establecemos las ecuaciones de transformación:

$g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial x} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{\phi\phi} = cos^2\phi g_{rr} + 0+ \frac{(-sin\phi)^2}{r^2} g_{\phi\phi} = cos^2\phi + sin^2\phi =1.$

Recuerda, el tensor métrico es simétrico, así que juntamos los 2 términos mixtos en uno y también nos damos cuenta de que como$g_{r\phi}= g_{\phi r} =0$, podemos olvidarnos por completo de los términos mixtos.

$g_{xy} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial y} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{\phi\phi} = cos\phi sin\phi g_{rr} + 0 + \frac{cos\phi}{r} \frac{-sin\phi}{r} g_{\phi\phi} = cos \phi sin\phi - cos\phi sin\phi =0.$

$g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial r}{\partial y} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{\phi\phi} = sin^2\phi g_{rr} + \frac{cos\phi}{r} \frac{cos\phi}{r} g_{\phi\phi} = sin^2\phi + cos^2\phi =1.$

Podemos confirmar que la fórmula para la transformación del tensor métrico en el caso de la transformación de coordenadas de coordenadas polares a cartesianas funciona correctamente.
En realidad, también se puede hacer esto con coordenadas anholonom, puede haber un ligero cambio en la ley de transformación, pero a priori también debería funcionar. Espero que esto ayude, pero puede ser necesario aprender algo más sobre formas diferenciales para que esta respuesta sea aún más clara.

Bien, entonces la confusión que veo aquí es básicamente terminológica.

En la mayoría de los pensamientos, tenemos el tensor métrico$g_{ab}$, que es una generalización del producto escalar normal a un espacio vectorial. Para tener un conjunto consistente de reglas para transformaciones vectoriales y de una forma y para que subir y bajar sean operaciones invertibles, es necesario que, en componentes, el producto interno de dos formas esté dado por la matriz inversa de$g_{ab}$, que llamamos$g^{ab}$por convención. Cuando la gente dice "métrica inversa", literalmente quiere decir que es la matriz inversa, por lo que$g_{ab}g^{bc} = \delta_{a}{}^{c}$por definición.

OK, entonces, ¿cuál es el trato con estos vectores de tétrada?${\bf e}^{a}$?, bueno, es mejor pensar en ellos como un conjunto de vectores que forman una base ortonormal del espacio vectorial generado por$g_{ab}$Por lo tanto, debe haber cuatro de ellos, que podemos etiquetar con un índice más bajo (usaré letras latinas mayúsculas). Por construcción tenemos:

$${\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b}g_{ab} = \eta_{IJ}$$

dónde$eta$es la métrica de Minkowski. Multiplica a la izquierda por$\eta^{JK}$, y obtenemos:

$$\eta^{JK}{\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b}g_{ab} = \delta_{I}{}^{J}$$

de lo que lo más fácil de concluir es que

$$\eta^{JK}{\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b} = \frac{1}{4}g^{ab}\delta_{I}{}^{K}$$

o, más simplemente

$$\eta^{IJ}g_{I}^{a}g_{J}^{b} = g^{ab}$$

cuál es la relación que cita en la pregunta escrita más explícitamente. Una forma de pensar en esto es imaginar la tétrada como una "raíz cuadrada" del tensor métrico

Resulta que podemos reformular completamente toda la Relatividad General en términos de la tétrada (a veces esto se llama por su nombre alemán, el 'vierbein') vectores$\bf e$sin hacer referencia directa al tensor métrico en absoluto y, de hecho, esta es la ÚNICA forma en que podemos incorporar los espinores en la relatividad general.