¿Hay un límite más allá del cual las matemáticas, si se usan correctamente, no se pueden aplicar a la realidad?

Y si es así, ¿por qué y cuáles?

Tomemos este caso: si tengo dos manzanas y creo que con dos más tendré cuatro manzanas, entonces creo implícitamente que la suma se aplica a la realidad. Sin embargo, existen argumentos, como el teorema del patito feo * desarrollado por Satosi Watanabe, cuyos resultados pueden ser extremadamente contradictorios. Pero si el teorema es sólido, ¿no deberíamos aceptar sus resultados? (En este caso, sin prejuicios, un patito es tan similar a un cisne como dos patitos entre sí).

Mi opinión es que si creo que 2+2=4 se puede aplicar a las manzanas, también debería creer que operaciones como 2^1000 + 2^1000 sí, aunque (digamos) no hay 2^1000 + 2^ 1000 manzanas en el universo. Entonces, si acepto que parte de las matemáticas se pueden aplicar a la realidad, debo aceptar que todas las matemáticas se pueden aplicar , si se usan correctamente.

(Lo mismo puede decirse de la Lógica)

*: El patito feo es un argumento que afirma que la clasificación es imposible sin algún tipo de sesgo. Más particularmente, asume un número finito de propiedades combinables por conectores lógicos y un número finito de objetos; afirma que dos objetos diferentes comparten el mismo número de propiedades (extensionales). El teorema lleva el nombre de la historia de Hans Christian Andersen "El patito feo", porque muestra que un patito es tan similar a un cisne como dos patitos entre sí. Se puede leer un estudio en profundidad aquí , un breve resumen aquí .

Bueno, en matemáticas es posible probar que la teoría es inconsistente. En realidad no lo es: es posible que tanto las oraciones "Está lloviendo" como "No está lloviendo" sean verdaderas al mismo tiempo.
@ rus9384 incluso si aceptamos lo que dice, se trata del uso del lenguaje, no de la realidad.
Las matemáticas en sí mismas son un lenguaje. Y este lenguaje, como he mostrado, no se aplica bien a la descripción de la realidad.
Hay alrededor de 10^80 átomos de hidrógeno en el universo. Cualquier número natural mucho más grande que eso puede llamarse razonablemente "matemáticas que posiblemente no podrían aplicarse a la realidad", como usted dice. En otras palabras, la realidad física de las matemáticas se descompone en algún entero positivo finito grande. Por no hablar de todos los locos conjuntos infinitos en los que creen los matemáticos. Ahora, las matemáticas infinitas son útiles para los físicos. Lo utilizan como escenario para sus teorías. Pero es necesario para los físicos? Y si es así, ¿por qué?

Respuestas (3)

Las matemáticas son una herramienta. Si bien dos manzanas reales más dos manzanas reales te darán cuatro manzanas reales, en realidad no hay números físicos .

Tome números negativos, por ejemplo. Si tengo una manzana y te doy una manzana, entonces tengo cero manzanas. Si digo que puede tener la manzana por $1, pero actualmente no posee $1, entonces diríamos que está endeudado y tiene -$1 . Sin embargo, en realidad tienes $0 y yo también tengo $0. Por lo tanto, mientras que los números negativos asociados con la deuda pueden tener consecuencias en el mundo real, nadie posee una cantidad negativa de dinero (o cualquier sustancia física) en realidad.

+1. No solo no hay números físicos en realidad, sino que no hay manzanas físicamente. Son todos átomos. Nuestro cerebro ve manzanas donde solo hay átomos. En nuestro cerebro, 10^100000^100000 manzanas son posibles: es solo otra bolsa de manzanas. Grande, por supuesto.
@RodolfoAP No estoy de acuerdo. Los átomos no son más básicos que las manzanas solo porque son más pequeños. Es una falacia lógica deducir que "los átomos son más pequeños que las manzanas, por lo tanto, los átomos son reales y las manzanas no".

Una vez que fijas los símbolos de tu teoría, asumes que una cierta cantidad de reglas de inducción son válidas (digamos en una lógica de primer orden), y una o más declaraciones (axiomas) son verdaderas, tienes como subproducto un (gran ) número de enunciados verdaderos, es decir, todos los que son demostrables en la teoría se basan en esos símbolos, reglas de inducción y axiomas.

Entre los enunciados verdaderos puede haber algunos que no se pueden aplicar a la realidad, pero no obstante siguen siendo verdaderos como subproducto de los axiomas. Por supuesto, los axiomas básicos deben estar de acuerdo con la experiencia sensible, si queremos que nuestra teoría sea aplicable a la realidad.

Esta pregunta lleva implícita una profunda subpregunta, es decir, ¿cuál es la relación entre las matemáticas y la realidad? Esto viene en consonancia con el estudio de la naturaleza de las matemáticas en sí.

Lo primero que señalaría es diferenciar las matemáticas de los símbolos y/o el lenguaje que usamos para expresar esta "cosa" (o propiedad, o accidente). ¿Todas las matemáticas son reducibles a símbolos? Godel como platónico probablemente entendió que no, y su teorema es parte de esa mentalidad.

Hay una predisposición hoy en día en la comunidad científica a pensar que las matemáticas lo son todo en cierto modo, básicamente por la física, la forma en que piensan algunos físicos. En una perspectiva aristotélica, por ejemplo, esto claramente no sería cierto. El aspecto cuantitativo es sólo un accidente en una cosa, en un ser. La realidad de este aspecto cuantitativo está fuera del alcance de esta respuesta, pero hay algunos buenos trabajos en esta dirección como los libros del profesor Wolfgang Smith.

Si todos los seres tienen algún accidente cuantitativo, en su existencia, entonces la pregunta es si las matemáticas son el estudio de este aspecto o no. ¿Qué es la matemática? (¿Es posible que un ser no tenga un aspecto cuantitativo en su existencia?).

¿Hay un límite más allá del cual las matemáticas, si se usan correctamente, no se pueden aplicar a la realidad?
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