¿Hay alguna identidad de poder que no pertenezca a esta lista?

El problema de encontrar expansiones de monomios, binomios, etc. es clásico y ya se han encontrado muchas soluciones hermosas, los ejemplos más destacados son

Teorema del binomio, Wikipedia .

Para cada $(a,b,n)\in\mathbb{N}$

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^k b^{n-k},$$ y para monomios podría escribirse como $$m^n=\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\binom{n}{k}\binom{k}{j}(-1)^{k-j}m^j.$$

También sigue una identidad en binomios a la potencia de Falling Factorial

$$(x+y)^\underline{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^\underline{k} y^\underline{n-k}$$

Teorema multinomial, Wikipedia . (Caso parcial)

Para cada $(m,n)\in\mathbb{N}$

$$m^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}},$$ dónde${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$es Coeficiente multinomial.

Fórmula de Faulhaber, arXiv , págs. 9-10.

Para cada $(m,n)\in\mathbb{N}$

$$n^{2m-1} = \sum_{k=1}^{m} (2k-1)!T(2m,2k) \binom{n+k-1}{2k-1},$$ dónde$T(2m,2k)$son Números Factoriales Centrales .

Identidad de Worpitzky, https://eudml.org/doc/148532 .

Para cada $(m,n)\in\mathbb{N}$

$$m^n = \sum_{k=0}^{n} E_{n,k} \binom{m+k}{n},$$ dónde$E_{n,k}$son números eulerianos .

Identidad entre números de Stirling de segunda especie y factorial descendente

Para cada $(x,n)\in\mathbb{N}$

$$x^n=\sum _{{k=0}}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k},$$ dónde$\left\{{n \atop k}\right\}$son números de Stirling de segunda clase y$(x)_{k}$es factorial descendente .

También se puede encontrar un buen ejemplo en Wolfram Mathworld, llamado

Suma binomial doble de MacMillan, Wolfram MathWorld, "Power", eq. 12 _

Para cada $(x,n)\in\mathbb{N}$

$$x^n=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j}\binom{k}{j}\binom{x}{k}j^n.$$

La prueba de la identidad de MacMillan se discute aquí .

Resultado de la pregunta 2669237 .

$$m^n=\sum_{\mathbf{k}\in {\cal K}_m^n}\frac{m!n!}{\displaystyle\prod_{i\ge0}(i!)^{k_i}k_i!},$$ ver el enlace en el título para las explicaciones.

Bases Ascendentes y Exponentes en el Triángulo de Pascal, Cortar el Nudo .

$$(n+1)^j=\frac{j!\prod_{k=0}^j\binom{n+k}{k}}{\prod_{k=0}^{j-1}\binom{n+1+k}{k}}$$

La identidad de Pascal, arXiv .

$$(n+1)^{k+1}-1=\sum_{m=1}^{n}[(m+1)^{k+1}-m^{k+1}]=\sum_{p=0}^{k}\binom{k+1}{p}(1^p+2^p+\cdots+n^p),$$

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Pregunta: ¿Hay otras identidades de poder que no estén en la lista anterior?