¿Se permite la definición de (nr)(nr)\binom{n}{r} considerando r>nr>nr>n?

La convención habitual es que los coeficientes binomiales que están "fuera de rango" son iguales a cero.

Pero hay otra convención. Si$k$es un entero no negativo, entonces

$$\binom{n}k=\frac1{k!}n(n-1)\cdots(n-k+1)$$ para enteros$n\ge k$. Así podríamos definir$\binom{x}k$como el polinomio $$\binom{x}k=\frac1{k!}x(x-1)\cdots(x-k+1)$$ de grado$k$. sus ceros son$0,1,\ldots,k-1$.

Con cualquier convención,$\binom 34=0$.

Para$n\ge0$,$\binom{n}{r}$es el número de tamaño-$r$subconjuntos de$\{1,\,\cdots,\,n\}$, independientemente de$r$. Si$0\le r\le n$, podemos probar

$$\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}=\frac{\prod_{j=n-r+1}^nj}{r!}.$$ Podemos mantener esto en una extensión a$n<0$, a saber $$\binom{-m}{r}:=(-1)^m\binom{m+r-1}{r}=(-1)^m\binom{m+r-1}{m-1}$$ para$m:=-n>0$. En particular, esto es distinto de cero iff$r\ge0$. Pero para unir estos casos, podemos definir$\binom{n}{r}$más generalmente como el$x^r$coeficiente en$(1+x)^n$, según el teorema del binomio generalizado : $$\binom{n}{r}:=[x^r](1+x)^n=[x^{-1}]\frac{(1+x)^n}{x^{r+1}}=\oint_{|z=1|}\frac{(1+z)^ndz}{2\pi iz^{r+1}}.$$

Personalmente creo que lo mejor es definir usando la función Gamma, es decir

$${}_x \mathrm{C}_y=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1)\Gamma(x-y+1)}$$ Ya que esto se encarga del "factorial negativo". Verdadero$\alpha$y un entero$k$, citas de Wikipedia $${}_\alpha \mathrm{C}_k = \frac{\operatorname{Fact}(\alpha,k,\downarrow)}{k!}$$ Con$\operatorname{Fact}(\alpha,k,\downarrow)$siendo el factorial descendente, $$\operatorname{Fact}(\alpha,k,\downarrow)=\prod_{j=0}^{k-1}(\alpha-j)$$ Pero es fácil ver que esto es siempre$0$si$\alpha \in \mathbb{N}$y$k>\alpha$.

si interpretas$\binom n r$combinatoriamente como el número de subconjuntos de cardinalidad$r$en un conjunto de cardinalidad$n,$entonces la expresión está definida sólo cuando$n$y$r$son cardinalidades, por lo tanto en$\{0,1,2,3,\ldots\}$(donde ese conjunto especificado en$\{\text{braces}\}$incluye o no cardinalidades de conjuntos infinitos dependiendo de lo que quieras hacer). En ese caso$\binom n r=0$cuando$r>n$porque el número de subconjuntos de cardinalidad$r$en un conjunto de cardinalidad$n$es$0$en ese caso.

También existe el uso de estas expresiones en la expansión de potencias de binomios, cuando el exponente no es un número entero:

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^\infty \binom n k x^k y^{n-k} \quad \text{if either } n\in\{0,1,2,\ldots\} \text{ or } \left| \frac x y \right| <1$$ dónde $$\binom n k = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{k!} \\ \text{ and $n$ need not be an integer and need not be positive.}$$ En este teorema del binomio, la identidad$\dbinom n k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$no se cumple si los factoriales se definen solo para enteros no negativos. Si$\ge0,$entonces todavía se pueden definir factoriales así: $$r! = \int_0^\infty x^r e^{-x}\,dx.$$ La idea de$\dfrac 1 {(-1)!}=0$puede tener sentido si uno continúa analíticamente esta definición de factorial y luego interpreta la expresión para que signifique$\displaystyle \lim_{r\,\to\,-1} \frac 1 {r!}.$Ni siquiera necesita el concepto de continuación analítica para hacer esto si usa la identidad$r!(r+1) = (r+1)!$para definir factoriales de no enteros negativos.

Y para valores enteros negativos de$n,$uno puede decir$n!=\infty$siempre que uno tome esto en el sentido de que tampoco$+\infty$ni$-\infty$sino más bien el$\infty$que está en ambos extremos de la línea real.

Para integral (incluso complejo)$n$e integrales$r$se cumple la siguiente definición:

$$\begin{align*} \binom{n}{r}= \begin{cases} \frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}=\frac{n^{\underline{r}}}{r!}&\quad r\geq 0\\ 0&\quad r<0 \end{cases} \end{align*}$$

Véase, por ejemplo, la fórmula (5.1) en el capítulo Coeficientes binomiales de matemáticas concretas de DE Knuth, RL Graham y O. Patashnik.