¿Cómo elegir nnn bolas de las bolsas?

Question

¿Cómo elegir nnn bolas de las bolsas?

Matemáticas
combinatoria
teoría de los números
coeficientes binomiales

vidhan

Dado $4$ bolsas A, B, C y D.

La bolsa A contiene 'un' número de bolas.

La bolsa B contiene un número 'b' de bolas.

La bolsa C contiene 'c' número de bolas.

La bolsa D contiene un número 'd' de bolas.

Tengo otra bolsa E que contiene un número infinito de bolas.

Ahora, tengo otra bolsa F y necesito llenarla con n bolas de modo que como máximo $1$ La bola se puede elegir de las bolsas A, B, C y D y no hay restricción en el número de bolas que se pueden elegir de la bolsa E.

Entonces, necesito encontrar el número de formas de elegir n bolas y llenar la bolsa F con ellas.

Mi enfoque: construir estuches basados en las bolas elegidas de la bolsa 'F'.

Pero el problema surge cuando tengo que elegir bolas de las bolsas A,B,C y D.

espacio abierto

Hace

a

$a$ >

n

$n$ ?

vidhan

@openspace No importa, ya que puedo elegir 1 bola del total de bolas o ninguna de la Bolsa A.

lulú

Pista: si

n \geq 4

$n≥4$ entonces puede elegir de cualquier subconjunto de

{A, B, C, D}

$\{A,B,C,D\}$ entonces la respuesta, en este caso, sería simplemente el número de subconjuntos.

espacio abierto

@vidhan ¿por qué? Si

a

$a$ >

n - 4

$n-4$ Podría elegir todas las bolas necesarias de A. Pero si no hay tal cantidad de bolas, entonces no podría hacerlo.

lulú

@openspace Creo que el OP dice que podemos elegir cualquiera

0

$0$ o

1

$1$ pelota de

A

$A$ . El

a

$a$ es una pista falsa (a menos que

a = 0

$a=0$ , Supongo. Estaba ignorando ese caso).

vidhan

@lulu también hay una bolsa E con una cantidad infinita de bolas.

espacio abierto

@lulu vale, lo entiendo

vidhan

@lulu Sí, podemos elegir 0 o 1 bola de A. Similar es el caso de B, C, D, excepto E.

lulú

@vidhan Por supuesto.

E

$E$ toma la holgura. Así que di

n = 63

$n=63$ y tu subconjunto fue

{C, D}

$\{C,D\}$ . entonces tomas

1

$1$ de

C

$C$ ,

1

$1$ de

D

$D$ y

61

$61$ de

E

$E$ .

vidhan

@lulu o puedo tomar todo de E.

lulú

@vidhan Absolutamente. Eso corresponde a elegir

\emptyset

$\emptyset$ como su subconjunto.

vidhan

@almagest también habría un caso cuando dibujo

n - 3

$n - 3$ bolas de E y hay que elegir otras

3

$3$ bolas de A,B,C o A,B,D o B,C,D o A,C,D.

almagesto

@vidhan Sí, esas son parte de las 16 posibilidades. Si gustas puedes decir que tienes 1 posibilidad donde dibujas

n

$n$ de

E

$E$ , 4 donde dibujas

n - 1

$n-1$ de

E

$E$ , 6 donde dibujas

n - 2

$n-2$ de

E

$E$ , 4 donde dibujas

n - 3

$n-3$ de

E

$E$ y 1 donde dibujas

n - 4

$n-4$ de

E

$E$ . Debería haber dicho el "restante" en lugar del "restante".

n - 4

$n-4$ ". Pero es más rápido decir que tienes 2 opciones para

A

$A$ , 2 para

B

$B$ , 2 para

C

$C$ , 2 para

D

$D$ y solo uno para

E

$E$ (proporcionado $n\ge4).

Respuestas (1)

¿Cómo elegir nnn bolas de las bolsas?

@openspace No importa, ya que puedo elegir 1 bola del total de bolas o ninguna de la Bolsa A.
Pista: si $n≥4$ entonces puede elegir de cualquier subconjunto de $\{A,B,C,D\}$ entonces la respuesta, en este caso, sería simplemente el número de subconjuntos.
@vidhan ¿por qué? Si $a$ > $n-4$ Podría elegir todas las bolas necesarias de A. Pero si no hay tal cantidad de bolas, entonces no podría hacerlo.
@openspace Creo que el OP dice que podemos elegir cualquiera $0$ o $1$ pelota de $A$ . El $a$ es una pista falsa (a menos que $a=0$ , Supongo. Estaba ignorando ese caso).
@lulu también hay una bolsa E con una cantidad infinita de bolas.
@lulu Sí, podemos elegir 0 o 1 bola de A. Similar es el caso de B, C, D, excepto E.
@vidhan Por supuesto. $E$ toma la holgura. Así que di $n=63$ y tu subconjunto fue $\{C,D\}$ . entonces tomas $1$ de $C$ , $1$ de $D$ y $61$ de $E$ .
@vidhan Absolutamente. Eso corresponde a elegir $\emptyset$ como su subconjunto.
@almagest también habría un caso cuando dibujo $n - 3$ bolas de E y hay que elegir otras $3$ bolas de A,B,C o A,B,D o B,C,D o A,C,D.
@vidhan Sí, esas son parte de las 16 posibilidades. Si gustas puedes decir que tienes 1 posibilidad donde dibujas $n$ de $E$ , 4 donde dibujas $n-1$ de $E$ , 6 donde dibujas $n-2$ de $E$ , 4 donde dibujas $n-3$ de $E$ y 1 donde dibujas $n-4$ de $E$ . Debería haber dicho el "restante" en lugar del "restante". $n-4$ ". Pero es más rápido decir que tienes 2 opciones para $A$ , 2 para $B$ , 2 para $C$ , 2 para $D$ y solo uno para $E$ (proporcionado $n\ge4).

almagesto · Answer 1

Para $n=1$ tienes 5 opciones: puedes tomar la pelota de cualquiera de $A,B,C,D,E$ .

Para $n=2$ tienes 11 opciones: puedes tomar ambas bolas de $E$ , o uno de $E$ y el otro de cualquiera de $A,B,C,D$ (4 opciones), o puede tomar uno de cada uno de dos de $A,B,C,D$ (6 opciones).

Para $n=3$ tienes 15 opciones: puedes tomar las tres de $E$ (1 opción), o dos de $E$ y uno de uno de $A,B,C,D$ (4 opciones) o uno de $E$ y uno de cada uno de dos de $A,B,C,D$ (6 opciones), o ninguna de $E$ y uno de cada uno de los tres de $A,B,C,D$ (4 opciones).

Para $n=4$ tienes 16 opciones: para cada una de $A,B,C,D$ puede elegir tomar 0 o 1, por lo que es un total de $2^4=16$ opciones A continuación, debe tomar el resto de $E$ .

Una forma abreviada de esto es que: para $n=1$ tienes ${4\choose0}+{4\choose1}=5$ opciones; para $n=2$ tienes ${4\choose0}+{4\choose1}+{4\choose2}=11$ opciones; para $n=3$ tienes ${4\choose0}+{4\choose1}+{4\choose2}+{4\choose3}=15$ opciones; y para $n\ge4$ tienes ${4\choose0}+{4\choose1}+{4\choose2}+{4\choose3}+{4\choose4}=2^4=16$ opciones el binomio ${4\choose r}$ corresponde a tomar un total de $r$ de $A,B,C,D$ y el resto de $E$ .

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lulú

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