Identidad combinatoria al elevar al cuadrado la expansión binomial

Question

Identidad combinatoria al elevar al cuadrado la expansión binomial

Matemáticas
combinatoria
teorema del binomio
pruebas combinatorias
coeficientes binomiales

Martín Argerami

Es trivial obtener, elevando al cuadrado la expansión binomial de $(1+t)^{1/2}$ y comparando coeficientes, que

\begin{matrix} (1) & \sum_{k = 0}^{metro} (\binom{1 / 2}{k}) (\binom{1 / 2}{metro - k}) = 0, metro \geq 2. \end{matrix}

$\tag1 \sum_{k=0}^m\binom{1/2}k\binom{1/2}{m-k}=0,\qquad m\geq2.$ Esto se puede reescribir como

\begin{matrix} (2) & \sum_{k = 1}^{metro - 1} \frac{(2 k - 2)! (2 (metro - k) - 2)!}{k! (k - 1)! (metro - k)! (metro - k - 1)!} = \frac{(2 metro - 2)!}{metro! (metro - 1)!}, metro \geq 2. \end{matrix}

$\tag2 \sum_{k=1}^{m-1}\frac{(2k-2)!(2(m-k)-2)!}{k!(k-1)!(m-k)!(m-k-1)!}=\frac{(2m-2)!}{m!(m-1)!},\qquad m\geq2.$

Me pregunto si hay una prueba directa de estas igualdades, en cualquiera de las dos versiones.

Salmón

creo que tal vez se pueda usar el método del aceite de serpiente

Martín Argerami

Sí, ese es básicamente el método que menciono en mi primera oración.

alan abraham

¿Cómo es la primera ecuación equivalente a la segunda ecuación?

Martín Argerami

@AlanAbraham: el lado izquierdo en

(2)

$(2)$ es la suma de

1

$1$ a

m - 1

$m-1$ en

(1)

$(1)$ , y el lado derecho es menos la suma de los términos

k = 0

$k=0$ y

k = m

$k=m$ en

(1)

$(1)$ .

Respuestas (1)

Identidad combinatoria al elevar al cuadrado la expansión binomial

creo que tal vez se pueda usar el método del aceite de serpiente
Sí, ese es básicamente el método que menciono en mi primera oración.
¿Cómo es la primera ecuación equivalente a la segunda ecuación?
@AlanAbraham: el lado izquierdo en $(2)$ es la suma de $1$ a $m-1$ en $(1)$ , y el lado derecho es menos la suma de los términos $k=0$ y $k=m$ en $(1)$ .

atún · Answer 1

Su ecuación (2) se puede reescribir como

\sum_{k = 1}^{metro - 1} C_{k - 1} C_{metro - k - 1} = C_{metro - 1},

$\sum_{k=1}^{m-1} C_{k-1}C_{m-k-1} = C_{m-1},$ dónde

C_{n}

$C_n$ es el

n^{th}

$n^{\text{th}}$ número catalán. Cualquier artículo de introducción a los números catalanes debe contener una o más pruebas contables de esa identidad.

Identidad combinatoria al elevar al cuadrado la expansión binomial

Martín Argerami

Salmón

Martín Argerami

alan abraham

Martín Argerami

Respuestas (1)

atún

Prueba combinatoria de la identidad 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Prueba combinatoria del teorema factorial y binomial descendente

Pregunta de prueba de suma binomial/combinatoria

Prueba combinatoria para series de números de Stirling y coeficientes binomiales

Demostrando una identidad interesante con sumas parciales de filas de triángulos de Pascal

Interpretación combinatoria de la identidad: ∑j=0b(bj)2(n+j2b)=(nb)2∑j=0b(bj)2(n+j2b)=(nb)2\sum\limits_{j=0} ^b\binom{b}{j}^2\binom{n+j}{2b}=\binom{n}{b}^2

¿Hay alguna identidad de poder que no pertenezca a esta lista?

Cómo probar que (nr)(nr)n \choose r = n+1−rrn+1−rr\frac{n+1-r}{r} (nr−1)(nr−1)n \choose r -1 sin usar la expansión factorial de (nr)(nr)n \choose r? [cerrado]

Prueba combinatoria de que los coeficientes binomiales centrales son los más grandes

Prueba combinatoria para la identidad ∑nk=0(nk)(−2)k=(−1)n∑k=0n(nk)(−2)k=(−1)n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-2\right)^k = (-1)^n