Propagadores, funciones de Green, integrales de trayectoria y amplitudes de transición en mecánica cuántica y teoría cuántica de campos

La mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos son diferentes en la forma en que tratan sus ecuaciones de onda. El uso del término común “propagador” podría remontarse al enfoque de la “ecuación de onda relativista”—i. mi. la gente solía pensar que los operadores de Schrödinger y KG pertenecían a la misma clase de "operadores cuánticos", pero el punto de vista moderno considera que estas cosas son de naturaleza diferente, por lo que le sugiero que lo haga también al principio. (Más adelante, es posible que desee comprender el campo de Schrödinger en la QFT no relativista leyendo el capítulo III.5 de Zee y, si se siente valiente, los orígenes de la QFT moderna, descritos en el primer volumen de Weinberg , sección 1.2). En consecuencia , dividiré mi respuesta en secciones sobre QFT y QM.

Mecánica cuántica.  Suponga que conoce la amplitud de transición$\def\xi{x_{\mathrm i}} \def\xf{x_{\mathrm f}} \def\ti{t_{\mathrm i}} \def\tf{t_{\mathrm f}}$

$$K(\xf,\tf;\xi,\ti) \equiv \langle \xf,\tf|\xi,\ti\rangle$$ y la función de onda $\psi(x,\ti) = \psi_0(x)$para todos $x$en un momento determinado $t =\ti$. Entonces también lo sabes en cualquier otro momento. $t=\tf$: $$\begin{multline} \psi(\xf,\tf) \equiv \langle \xf,\tf|\psi(\ti)\rangle = \langle \xf,\tf|\left(\int d^n\xi\,|\xi,\ti\rangle\langle \xi,\ti|\right)|\psi(\ti)\rangle \\\equiv \int d^n\xi\,K(\xf,\tf;\xi,\ti)\psi_0(\xi).\tag{1} \end{multline}$$ Las primeras secciones de Feynman y Hibbs o el capítulo 6 de Srednicki ^PDF deberían convencerlo de que $$K(\xf,\tf;\xi,\ti) = \int\limits_{x\rlap{(\ti)=\xi}}^{x\rlap{(\tf)=\xf}} \mathcal Dx(t)\,e^{i\int dt\,L(x(t),\dot x(t),t)}.$$ Tenga en cuenta las condiciones de contorno en la integral de trayectoria: demostrarán ser importantes en la sección QFT.

Reordenemos los argumentos,$K(\xf,\tf;\xi,\ti) = K(\xf,\xi;\tf,\ti)$. Entonces podrás reconocer en (1) una representación integral del operador de evolución$U(\tf,\ti)$,

$$\psi(\xf,\tf)\equiv(U(\tf,\ti)\psi_0)(\xf) = \int d^n\xi\,K(\xf,\xi;\tf,\ti)\psi_0(\xi).$$ si piensas en $\xi$y $\xf$como índices con un número continuo de valores, esta fórmula se parece mucho a la multiplicación de matrices y $K(\cdot,\cdot\,;\tf,\ti)$juega el papel de la matriz. Esto tiene sentido, porque el operador lineal $U(\tf,\ti)$debe estar representado por (algo así como) una matriz! Los matemáticos llaman a ese algo un núcleo (integral) , de ahí el $K$. Pero realmente es una matriz muy grande, salvo patologías; hablando de eso, convéncete de que la "función" delta de Dirac $\delta^n(\xf-\xi)$es el núcleo de la transformación de identidad y que $K(\xf,\xi;\ti,\ti) = \delta^n(\xf-\xi)$.

Armado con el conocimiento de que Dirac delta es de hecho el operador de identidad, ahora ve que la definición de la función de Green (más propiamente la solución fundamental ) de un operador diferencial lineal$L$, limitado a dimensiones de espacio cero y no explícito$t$dependencia por simplicidad,

$$LG = \delta(t),$$ es de hecho solo la definición de un inverso! Dado $G$, también es obvio cómo resolver cualquier otra ecuación no homogénea: $$Lu = f(t)\quad\Leftarrow\quad u(t) = \int ds\,G(t-s)f(s).$$ Pero, ¿qué tiene que ver todo esto con la solución al problema del valor en la frontera que es el propagador? $K$? Todo, resulta, según el principio de Duhamel . La función de Green $G$(para el problema no homogéneo) y el propagador $K$(para el problema de valor inicial) son de hecho iguales! Una discusión en Math.SE proporciona algo de motivación, y Wikipedia tiene detalles sobre el manejo de ecuaciones que son más que de primer orden en el tiempo (por ejemplo, KG no Schrödinger). En cualquier caso, el resultado final es que $K$arriba es el inverso del operador de Schrödinger, $$[\partial_t + iH(x,-i\partial_x)]K = \delta(t)\delta^n(x).$$

Interludio.  Puede disfrutar leyendo la sección 2 del artículo clásico de Feynman Theory of positrons ^PDF , Phys. Rev. 76 , 749 (1949), y el comienzo de la sección 2 del seguimiento Espacio-tiempo enfoque de la electrodinámica cuántica ^PDF , Phys. Rev. 76 , 769 (1949), que proporciona el vínculo entre los enfoques QM y QFT al mostrar cómo escribir una expansión de perturbación en$g$para un hamiltoniano$H = T + gV$cuando se puede determinar la evolución exacta en la parte "cinética"$T$pero no la parte de "interacción"$gV$,$g \ll 1$. La contribución de primer orden, por ejemplo, termina pareciendo

$$K_1(\xf,\tf;\xi,\ti) = -ig\int_{\ti}^{\tf} dt\int d^3x\, K_0(\xf,\tf;x,t)V(x,t)K_0(x,t;\xi,\ti),$$ que puede describirse razonablemente como “propagación a un punto arbitrario $x$, dispersando el potencial y propagándose al punto final desde allí”. El segundo artículo tiene la extensión a los sistemas de partículas múltiples.

Feynman usó esto para motivar, por primera vez, sus diagramas. Sin embargo, la parte relativa a la propia QED debe tomarse con pinzas por las razones expuestas en el primer párrafo. Te divertirías mucho, por ejemplo, explicando por qué la restricción$\ti\le t\le \tf$no se aplica en QFT; Feynman llamó a esto la razón de las antipartículas .

Teoría cuántica de campos. La teoría cuántica de campo  vernácula (en oposición a la axiomática ) comienza con una ecuación de campo clásica. Eso es lo que es su KG o Dirac o ecuación de onda: una ecuación clásica derivada de una acción clásica para el campo. Puede dividir la ecuación y la acción en una parte "libre" y otra de "interacción"; la parte libre (o “cinética”) generalmente se define como la parte que puede resolver exactamente: la parte lineal de la ecuación, la parte cuadrática de la acción. El propagador libre es entonces el inverso de esa parte. por lo general se llama$D$para fermiónico y$\Delta$para campos bosónicos, aunque las convenciones (¡y los coeficientes!) varían.

Promocionar los campos a los operadores$\hat\phi(x)$, usando cuantización canónica ; después de un poco de dolor y sufrimiento encontrarás el hecho totalmente misterioso de que, en la teoría libre,

$$\langle0|\mathcal T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle = \theta(x^0-y^0)\langle0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle +\theta(y^0-x^0)\langle0|\hat\phi(y)\hat\phi(x)|0\rangle =\frac 1i \Delta(x-y),$$ dónde $|0\rangle$es el estado fundamental, y la primera igualdad sirve para definir el $\mathcal T$símbolo, el orden del tiempo . Sin embargo, en el terreno de las integrales funcionales, todo esto es tan fácil como resolver la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$completando el cuadrado ; puede encontrar los detalles en el capítulo I.2 de Zee, comenzando con la ecuación (19). El resultado es $$\frac 1i \Delta(x-y) = \langle0|\mathcal T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle \equiv \int\mathcal D\phi(x)\,\phi(x)\phi(y)\,e^{iS[\phi]} = \left.\frac\delta{i\,\delta J(x)}\frac\delta{i\,\delta J(y)}\int\mathcal D\phi(x)\,e^{i\left(S[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)}\right|_{J = 0},$$ con la equivalencia en el medio siendo casi la definición de la integral, y todo debería parecer razonable y no coincidentemente con una reminiscencia de la física estadística. Tenga en cuenta cómo la integración es sobre las configuraciones de campo de cuatro dimensiones $\phi(x)$en lugar de trayectorias de partículas $x(t)$: ¡QM es solo QFT en una dimensión!

Tienes que derivar la integral de trayectoria para entender dónde está el$\mathcal T$proviene de—sin embargo, tiene sentido que si la integral de trayectoria define correladores, estos deben venir con una prescripción de ordenación: bajo el signo integral, no hay operadores, solo números y no hay ordenación. La derivación también te convencerá de que (¿recuerdas que te dije que te preocuparas por las condiciones de contorno?)

$$\int\mathcal Dx(t) \equiv \int d^n\xf\,d^n\xi \langle0|\xf\rangle \langle\xi|0\rangle \int\limits_{x\rlap{(\ti) =\xi}}^{x\rlap{(\tf) =\xf}}\mathcal Dx(t)$$ por arbitrario $\ti$y $\tf$que abarcan todos los valores de tiempo que le interesan, en una dimensión por simplicidad. Recientemente tuve que anotar los detalles para que puedas consultar mis notas en ^PDF si es necesario.

El salto final es introducir interacciones; Dejaré eso para las notas de AMS o el capítulo I.7 de Zee, pero la idea es nuevamente diferenciar (funcionalmente) bajo la integral (funcional):

$$\int\mathcal D\phi(x) e^{i\left(S[\phi] + I[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)} = e^{iI\left[\frac{\delta}{i\,\delta J}\right]} \int\mathcal D\phi(x) e^{i\left(S[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)}$$ y el resultado son vértices en diagramas de Feynman.