¿Por qué funciona la teoría de perturbaciones en el espacio de Fourier?

Estoy tratando de aprender algunos temas de teoría de campos estadísticos con antecedentes matemáticos puros y no puedo entender algunas cosas. Formularía la pregunta para campos dependientes del tiempo, pero supongo que tiene sentido preguntar incluso cuando uno solo tiene coordenadas espaciales.

Supongamos que tenemos un campo dependiente del tiempo ϕ ( t ) (por ejemplo, una solución a un SDE) que se sabe que es estacionario en el tiempo. Me gustaría escribir una expansión de perturbación (expansión de bucle) para < ϕ >≡< ϕ ( t ) > ,   ∀ t .

Según tengo entendido, después de dividir la acción en partes libres e interactivas y aplicar el teorema de Wick, hay dos formas de hacerlo:

  1. Escriba la expansión directamente en el dominio del tiempo, representando cómo los cumulantes de orden superior (que involucran puntos de tiempo anteriores) impactan la media, mediante diagramas. Entonces uno puede truncar la expansión y esperar que la parte descartada tenga un impacto mucho menor que los términos que no truncamos.
  2. Aplique la transformada de Fourier a los cumulantes de acción libre, realice la expansión en el dominio de la frecuencia, realice el truncamiento en algún nivel y luego aplique la transformada inversa de Fourier a la expresión resultante

Aunque todavía es un misterio para mí, me acostumbré al hecho de que en física se cree que cuando el término de ruido en la acción es pequeño, es posible truncar la expansión a nivel de bucle finito y tener una aproximación razonable. Pero solo puedo hacerme creer en ello cuando uno hace el caso 1), la expansión del dominio del tiempo.

Pregunta: ¿Cuáles son las heurísticas que explican por qué tiene sentido el truncamiento de la expansión del bucle del dominio de Fourier?

La configuración más explícita en la que estoy pensando está aquí , pero estoy preguntando más sobre la idea general.

UPD: una de las razones de la pregunta es que desde la expansión de 1 bucle en el dominio del tiempo y desde la expansión de 1 bucle en el dominio de la frecuencia (convertida de nuevo al dominio del tiempo) se obtienen diferentes expresiones y no está claro cuál se supone que es más correcta. .

para la física molecular y de partículas, principalmente porque los estados propios de frecuencia coinciden con los estados asintóticos entrantes y salientes de los fenómenos de dispersión.

Respuestas (1)

Tanto el dominio del tiempo como el de la frecuencia son continuos. Para cualquier dominio continuo, perturbar un punto no alterará las relaciones entre las dimensiones, ni provocará un cambio abrupto (porque es un continuo). Por ejemplo, si tengo un punto 3D en un espacio de color RGB, un ligero cambio de posición provoca un ligero cambio de color. Si luego transformo ese espacio de color a HSV (tono, saturación y brillo), veré el mismo grado de cambio con un cambio similar en la posición del punto (relativo). Luego podría transformarlo de nuevo a RGB y ver ese cambio en el espacio RGB. Incluso puede hacer los cambios en la misma cantidad siempre que el cambio en el punto sea el mismo en relación con el tamaño del espacio.. Por supuesto, un requisito de la perturbación es que el cambio no sea tanto como para que cualquier no linealidad tenga un efecto.

Estás diciendo que si uno toma dos argumentos cercanos, los valores de una función continua son similares, es decir, es un efecto local. Estoy preguntando por qué descartar algunos componentes de frecuencia (que es un efecto no local) le da un valor cercano en el dominio del tiempo.
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