¿Hacer distinguibles partículas indistinguibles?

En principio, es cierto que no se puede distinguir entre dos partículas idénticas. Sin embargo, si la superposición entre las funciones de onda de las dos partículas es cercana a$0$, a menudo puede tratar las partículas como distinguibles. Hay principalmente dos casos en los que esto sucede:

1. Partículas separadas por una barrera potencial "suficientemente alta"

Si dos partículas idénticas están separadas por una barrera de potencial "suficientemente alta" (por ejemplo, una "pequeña caja", pero también un pozo de potencial correspondiente a un sitio de red), la superposición entre las respectivas funciones de onda es muy pequeña (en el caso ideal de una barrera de potencial infinito, la superposición es rigurosamente$0$). Esto significa que siempre podremos decir con un alto grado de precisión qué partícula está dónde, es decir, podemos tratarlas con un alto grado de precisión como distinguibles.

Ver también esta respuesta de Arnold Neumaier.

2. Partículas "lejanas"

Si dos partículas idénticas están "lejos" entre sí, podemos tratarlas como distinguibles.

Tomemos, por ejemplo, dos electrones lejanos: dado que son fermiones indistinguibles, su función de onda es

$$\Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)=\frac 1 {\sqrt 2} [\psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)-\psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)]$$

Ahora considere el valor esperado de algún observable$\mathcal O$:

$$\langle \mathcal O \rangle = \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\Psi^*(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \ \mathcal O \ \Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)]=\\ \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)] - \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)]$$

Supongamos que$\psi_1$y$\psi_2$están suficientemente localizadas, es decir, que$\psi_1$es sensiblemente diferente de$0$solo en un dominio$D_1 \in \mathbb R^3$y eso$\psi_2$es sensiblemente diferente de sólo$0$en un dominio$D_2 \in \mathbb R^3$, y eso$D_1$y$D_2$no se superpongan. Entonces tendremos para el segundo término

$$\int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)] \\ \approx \int_{D_1} \int_{D_2} d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_2)\psi_2(\mathbf r_1)] \approx 0$$

desde$\psi_1 \approx 0$en$D_2$y$\psi_2 \approx 0$en$D_1$. Resulta que

$$\langle \mathcal O \rangle \approx \int \int d\mathbf{r}_1 d \mathbf{r}_2 [\psi_1^*(\mathbf r_1)\psi_2^*(\mathbf r_2) \ \mathcal O \ \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)]$$

Esto significa que la función de onda

$$\tilde \Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2) = \psi_1(\mathbf r_1)\psi_2(\mathbf r_2)$$

que es una función de onda para partículas distinguibles , ¡nos hubiera dado aproximadamente el mismo resultado! Por lo tanto, podemos considerar que las partículas lejanas son distinguibles.

Ver también esta respuesta de tparker.

Dado que todos los operadores de creación fermiónicos son anticonmutadores, la función de onda de dos fermiones cualesquiera siempre debe debe ser antisimetrizada. Esto es válido incluso si los fermiones tienen espines diferentes, colores diferentes o incluso si son partículas completamente diferentes, como un quark down y un neutrino tau.

Sin embargo, en muchos casos esto puede pasarse por alto. La regla general es que un fermión puede excluirse de la antisimetrización si tiene una propiedad que ningún otro fermión comparte.

Por ejemplo, considere un átomo en el que todos los electrones están fijados para tener un giro hacia arriba, excepto uno que está fijado para tener un giro hacia abajo. Entonces, el principio de exclusión de Pauli no impone ninguna restricción sobre el estado espacial del electrón de espín descendente, por lo que nada sale mal si tratamos a ese electrón como distinguible del resto; no obtienes ninguna configuración ilegal. Conceptualmente, la partícula se distingue por su espín. (Esto no tiene nada que ver con si una configuración experimental específica puede hacer la distinción. Este es un hecho matemático que era cierto incluso en la edad de piedra).

De manera similar, los quarks en un mesón se pueden distinguir porque solo uno es un antiquark, pero los quarks en un barión no, ver aquí . En el caso de los giros cuyas posiciones están fijas en una red, cada giro tiene una posición única, por lo que todos se distinguen por sus posiciones.

Se utiliza una versión más sutil de este truco para el gas ideal clásico. La función de onda de cada partícula es de la forma$\psi_{\text{spatial}} \psi_{\text{spin}}$. Suponemos que cada partícula tiene un estado espacial distinto; una vez que se tiene en cuenta, las partículas se distinguen en virtud de sus posiciones, con el fin de asignar espines. Pero, por supuesto, esto es falso: dos partículas pueden tener el mismo estado espacial y espines opuestos. La aproximación realizada para el gas ideal clásico es que el gas es lo suficientemente escaso como para que estas configuraciones sean despreciables. Si no lo son, debe utilizar las estadísticas completas de Fermi-Dirac.

Entonces, ¿cuándo se distingue la partícula indistinguible? ¿Fijar sus ubicaciones los hará distinguibles?

Las partículas se distinguen cuando se encuentran en diferentes estados propios: un átomo de hidrógeno excitado que ha absorbido un fotón se puede distinguir de un átomo de hidrógeno con el electrón en el estado fundamental.

También el espín puede distinguir una partícula de otra. Un pi0 que se descompone en dos gammas: si una gamma tiene espín+1, la otra debe tener espín -1 y, por lo tanto, es distinguible de la primera.

Las ubicaciones son un continuo. En una red, la energía (excitada oa nivel del suelo) y el espín pueden distinguir partículas, según el experimento.

Las partículas se pueden distinguir si tienen valores propios diferentes para algunos observables, de lo contrario son indistinguibles.