¿Es (anti)simétrica una superposición de estados (anti)simétricos?

He aquí una forma elegante de mostrar que cualquier combinación lineal de estados (anti)simétricos es siempre (anti)simétrica. Aquí usamos la notación de Dirac para los estados y asumimos, por simplicidad, que estamos tratando con un sistema de dos componentes, de modo que los estados del sistema son combinaciones lineales de productos$|\psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$.

Primero, definimos el operador de intercambio$P$en productos de estados como el único operador lineal que "voltea" factores de estados de productos;

$$\begin{align} P|\psi_1\rangle|\psi_2\rangle = |\psi_2\rangle|\psi_1\rangle. \end{align}$$ En segundo lugar, recuerde que se dice que el estado es (anti)simétrico siempre que se actúe sobre el operador de intercambio $P$, se multiplica por un $\pm$signo (+ para simétrico y - para antisimétrico); $$\begin{align} P|\psi\rangle = \pm|\psi\rangle. \end{align}$$ Ahora supongamos que los estados $|\psi\rangle$y $|\phi\rangle$son ambos antisimétricos, entonces cuando aplicamos el operador de intercambio a cualquier combinación lineal de ellos, obtenemos $$\begin{align} P(a|\psi\rangle+b|\phi\rangle) &= aP|\psi\rangle + bP|\phi\rangle \\ &= a(\pm|\psi\rangle)+b(\pm|\phi\rangle) \\ &= \pm(a|\psi\rangle+b|\phi\rangle). \end{align}$$ Esto demuestra que cualquier combinación lineal de ellos tiene la propiedad de que el operador de intercambio que actúa sobre esa combinación lineal da la combinación lineal multiplicada por un $\pm$signo, ¡así que también es (anti)simétrico!

Apéndice. (Construcción del operador de cambio)

Anteriormente, definimos el operador de intercambio como el operador lineal único cuya acción en los estados del producto (tensor) es cambiar los factores. Que tal operador existe y es único se puede demostrar de la siguiente manera.

Sea el espacio total de Hilbert$\mathcal H\otimes \mathcal H$. Dejar$\{|n\rangle\}$ser una base para$\mathcal H$, entonces el conjunto$\{|n\rangle|m\rangle\}$es una base para$\mathcal H\otimes\mathcal H$, la llamada base del producto tensorial. Recuerde que un operador lineal está determinado por su acción sobre cualquier base. Por lo tanto, existe un único operador lineal$P$en$\mathcal H\otimes\mathcal H$satisfaciendo la propiedad

$$\begin{align} P|n\rangle|m\rangle = |m\rangle|n\rangle \end{align}$$ para todos los pares $(n,m)$. Queda por demostrar que $P$cambia los factores tensoriales para cualquier estado del producto $|a\rangle|b\rangle$. Esto se puede hacer expandiendo el estado en cada factor usando la base que usamos para definir $P$como sigue: $$\begin{align} P|a\rangle|b\rangle &= P\left(\sum_na_n|n\rangle\sum_m b_m|m\rangle\right)\\ &= P\left(\sum_{nm}a_nb_m|n\rangle|m\rangle\right)\\ &= \sum_{nm}a_nb_m P|n\rangle|m\rangle\\ &= \sum_{nm}a_nb_m |m\rangle|n\rangle\\ &=\sum_mb_m|m\rangle\sum_n a_n|n\rangle\\ &= |b\rangle|a\rangle. \end{align}$$

Una superposición de estados (anti)simétricos siempre es (anti)simétrica, pero no es necesariamente descomponible. Entonces tus

$$\frac{1}{2}[(\chi(A)\psi(B)\pm\psi(A)\chi(B))+(\phi(A)\eta(B)\pm\eta(A)\phi(B))]$$

se puede poner en forma

$$\frac{1}{\sqrt2}(f(A,B)\pm f(B,A)).$$ pero en la mayoría de los casos no existirían tales funciones $f_1$, $f_2$eso $f(A,B)=f_1(A)f_2(B)$.