Reducción dimensional de la acción de Einstein-Hilbert de dimensiones superiores

Tomo un espacio-tiempo de la forma$\mathcal{M}_{d+1}\times \mathbb{S}^n$, con$\mathcal{M}_{d+1}$algunos genéricos no compactos$(d+1)$-espacio-tiempo dimensional y$\mathbb{S}^n$un$n$-esfera dimensional, por lo que su métrica tiene la siguiente forma:

Dónde$\rho^2(x)$depende solo de$x^\mu$coordenadas, es decir no depende de las coordenadas de la esfera. La acción de Einstein-Hilbert en$d+1+n$dimensiones es:

Con$\mathcal{R}^{(G)}$la curvatura escalar de la$G_{AB}$métrico, y$\Lambda$la constante cosmológica. Quiero ahora reducir la acción en la esfera.$\mathbb{S}^n$. Entiendo como hacer los primeros pasos, es decir escribir, integrar sobre las coordenadas de la esfera separando$\mathrm{d}^{d+1+n}x=\mathrm{d}^{d+1}x\mathrm{d}^n\Omega$, y también simplificar el determinante a$\sqrt{-G}=\sqrt{-\tilde{g}}\rho^n(x)$, de modo que obtengo:

Pero no veo cómo simplificar esto más. En particular, creo que debería haber una forma inteligente de reducir$\mathcal{R}^{(G)}$a$\mathcal{R}^{\tilde{g}}$más algunos términos proporcionales a$(\partial\rho)^2$y$\rho$, pero no veo cómo hacerlo correctamente, y sin rehacer desde cero todos los cálculos para los símbolos de Christoffel, el tensor de Riemann, el tensor de Ricci y la curvatura escalar.

¿Puede alguien por favor ayudarme? He encontrado algunas derivaciones para la reducción unidimensional en un círculo, pero generalmente se hace en algún campo escalar.$\phi$para mostrar que surge una enorme torre de estados, y no sobre la acción de Einstein-Hilbert en sí misma, y ​​no he encontrado casi nada para el caso de la esfera.

EDITAR: Después de investigar un poco más, encontré un documento más detallado y me di cuenta de leer la sección sobre la reducción dimensional del$\mathcal{N}=4$lagrangiano de supergravedad de D=7 a D=11 (alrededor de la página 59 del artículo) que la gente siempre estaba haciendo la reducción KK para ansatz muy generales de métricas, con términos fuera de la diagonal que dan lugar a los potenciales de calibre en dimensiones más bajas. Pero en mi caso, realmente tengo una métrica de bloque diagonal que debería dar solo algo de dilatación.$\varphi$en$d+1$dimensiones, con las que me relaciono$\rho$a través de$\rho(x)=e^{\varphi(x)}$. Es por eso que decidí tratar de hacer los cálculos de la manera difícil, es decir, calculando explícitamente los símbolos de Christoffel, el tensor de Riemann y los componentes del tensor de Ricci para obtener explícitamente el$\rho$dependencia, y luego contrajo todo. La acción que obtengo en este caso es entonces:

Dónde$(\partial\rho)^2\equiv\tilde{g}^{\mu\nu}\partial_\mu\rho\partial_\nu\rho=G^{MN}\partial_M\rho\partial_B\rho$desde$\rho$depende solo de las coordenadas de$\mathcal{M}_{d+1}$.

La acción está en el marco de la cuerda, así que para volver al Einstein Fram habitual, hago un cambio de escala de Weyl

Para finalmente obtener:

Donde denoto por$\bar{\partial}^\mu=e^{\frac{2n}{d-1}\varphi}\partial^\mu$un vector contravariante con un índice elevado con la métrica reescalada$g_{\mu\nu}$. Eso parece ser exactamente lo que estábamos buscando, ya que obtenemos un término cinético para$\varphi$con$(\bar{\partial}\varphi)^2$y un potencial exponencial$V(\varphi)$:

No estoy 100% seguro de que esos sean realmente los coeficientes correctos, y supongo que puede haber algunas sutilezas con el término cinético para obtener la normalización canónica. ¿Alguien ya ha hecho este cálculo, o tal vez ahora que el problema se identifica más claramente, alguien ha visto algún artículo donde se hizo este cálculo para verificar? De lo contrario, supongo que en su mayoría obtuve mi respuesta.