Preguntas sobre el grado de libertad en la Relatividad General

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Preguntas sobre el grado de libertad en la Relatividad General

Física
teoría de calibre
grados de libertad
relatividad general
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

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Estoy confundido acerca del número de grados de libertad en General Relatity. Hay dos formas de contarlo. Sin embargo, son contradictorios . Para simplificar, consideramos una solución de vacío.

Primero, $G_{\mu\nu}=0$ da $10$ ecuaciones y $g_{\mu\nu}$ tener $10$ grados de libertad (dof). Mientras $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ son $4$ identidades, solo $6$ de originales $10$ ( $G_{\mu\nu}=0$ ) las ecuaciones son independientes. Entonces ahora hay $6$ ecuaciones independientes y $10$ grados de libertad. Como hay libertad de transformación de coordenadas, $4$ de $10$ son libertad de medida. Dado $4$ condiciones de coordenadas, solo $6$ son grados de libertad físicos y hay $6$ ecuaciones independientes, por lo que está bien definida.

En segundo lugar, si consideramos el formalismo hamiltoniano, necesitamos la descomposición ADM donde $N$ y $N^i$ son multiplicadores lagrangianos y se pueden dar arbitrariamente. entonces hay $6$ grados de libertad que son $g_{ij}$ . Mientras $N$ y $N^i$ dar $4$ restricciones, sólo $6-4=2$ son grados de libertad físicos.

Por lo tanto, existe una contradicción sobre el número de grados de libertad entre las ecuaciones de campo de Einstein que dan $6$ y el formalismo hamiltioniano que da $2$ .

Así que tengo las siguientes preguntas:

1）¿Cómo conciliar por encima de la contradicción? ¿Cuántos grados físicos de libertad hay en GR?

2) Hay un dicho que dice que las partículas de espín-2 sin masa tienen dos grados de libertad ¿Es este grado de libertad el mismo que el grado de libertad físico en $g_{\mu\nu}$ ?

3) Siempre decimos que debido a la libertad de transformación de coordenadas (o libertad de calibre), $x^\mu \xrightarrow{} x^\mu+\xi^\mu(x)$ , podemos disminuir $4$ perro en $g_{\mu\nu}$ . Sin embargo, en electrodinámica, $A^\mu$ también tiene libertad de calibre $A^\mu \xrightarrow{} A^\mu + \partial^\mu \Lambda(x)$ que puede disminuir $2$ dof en $A^\mu$ . Sé cómo derivar estos. Solo quiero saber por qué en GR $4$ libertad de funciones $\xi^\mu(x)$ puede disminuir 4 grados de libertad, mientras que en electrodinámica $1$ libertad de función $\Lambda(x)$ puede disminuir $2$ dof

Observación: escuché a alguien decir que en el primer caso, $g_{\mu\nu}$ tener $10$ dof, disminución de la libertad de medida $4$ dof, y las identidades de Bianchi $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ son $4$ restricciones que disminuyen $4$ dof de $g_{\mu\nu}$ , entonces $10-4-4=2$ quedan dof físicos. Creo que no está bien, porque la identidad es diferente de la constricción . La identidad disminuye el número de ecuaciones independientes, mientras que la contritante disminuye el número de grados de libertad Porque dado cualquier $g_{\mu\nu}$ , $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ siempre tienen razón, $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ no tendrá ninguna restricción sobre $g_{\mu\nu}$ .

jerry schirmer

Las identidades de bianchi son independientes de las coordenadas. Los cuenta y las transformaciones de coordenadas de fijación de calibre de forma independiente: 10 - 4 - 4 = 2.

Respuestas (2)

Preguntas sobre el grado de libertad en la Relatividad General

Las identidades de bianchi son independientes de las coordenadas. Los cuenta y las transformaciones de coordenadas de fijación de calibre de forma independiente: 10 - 4 - 4 = 2.

Asperanz · Answer 1

El punto clave en todo esto es que la relatividad general es una teoría de calibre y, como dice el dicho, "el calibre siempre golpea dos veces" (aparentemente atribuido a Claudio Teitelboim). Lo que esto significa es que (1) tiene una libertad arbitraria para definir su evolución, correspondiente a la capacidad de realizar transformaciones de calibre, y (2) algunas de las ecuaciones de evolución serán restricciones. Este segundo hecho significa que no se le permite elegir datos iniciales arbitrarios para su teoría; más bien, los datos iniciales que selecciona están sujetos a las restricciones, que surgen debido a que su acción es invariante de calibre.

Por lo general, es más fácil comenzar con la electrodinámica de vacío. Allí se leen las ecuaciones de movimiento

\partial^{m} (\partial_{m} A_{v} - \partial_{v} A_{m}) = 0.

$\partial^\mu(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)=0.$ No todas estas ecuaciones son de segundo orden en el tiempo; solo mira el

ν = 0

$\nu=0$ componente:

\partial_{t}^{2} A_{0} - \nabla^{2} A_{0} - \partial_{t} (\partial_{t} A_{0} - \nabla \cdot \vec{A}) = 0 ⟹ \partial_{t} \nabla \cdot \vec{A} - \nabla^{2} A_{0} = 0.

$\partial_t^2 A_0 - \nabla^2A_0 -\partial_t(\partial_t A_0 - \nabla\cdot\vec{A}) = 0 \\ \implies\partial_t\nabla\cdot\vec{A}-\nabla^2A_0 = 0.$

Este es básicamente el $\nabla\cdot \vec{E} = 0$ vacío ecuación de Maxwell (es decir, manómetro de Coulomb con $\nabla\cdot\vec{A}=0$ y $\vec{E} = -\nabla A_0$ ). Esta es una restricción en sus datos iniciales, porque no se le permite hacer una elección arbitraria para $(A_0, \vec{A})$ y $(\partial_t A_0, \partial_t \vec{A})$ ; más bien, necesitan satisfacer esta restricción. Así que esto reduce el número de condiciones iniciales de 4 a 3. Luego, la transformación de calibre $A_\mu \mapsto A_\mu + \partial_\mu \lambda$ le permite cortar otra pieza de datos iniciales, imponiendo una condición de fijación de calibre (es decir, $\nabla\cdot\vec{A}=0$ ). Esto nos lleva a 2 grados de libertad.

Para la relatividad general, ahora tiene 4 libertades de calibre generadas por difeomorfismos descritos por un vector $\xi^\mu$ . Entonces, aplicando la máxima, deberíamos esperar reducir $4\times2=8$ grados de libertad. De hecho, la identidad de Bianchi dice dónde buscar las restricciones. Vamos a ampliarlo un poco:

0 = \nabla_{m} {GRAMO}^{m v} = \partial_{0} {GRAMO}^{0 v} + \partial_{i} {GRAMO}^{i v} + Γ_{m α}^{m} {GRAMO}^{α v} + Γ_{m α}^{v} {GRAMO}^{m α} .

$0=\nabla_\mu G^{\mu\nu} = \partial_0 G^{0\nu}+\partial_i G^{i\nu} + \Gamma^\mu_{\mu\alpha}G^{\alpha \nu}+ \Gamma^{\nu}_{\mu\alpha}G^{\mu\alpha}.$ Esto nos dice que la derivada primera vez (

\partial_{0}

$\partial_0$ ) de

G^{0 ν}

$G^{0\nu}$ está relacionado con las derivadas espaciales de

G^{i ν}

$G^{i\nu}$ así como términos sin derivados de

G^{μ α}

$G^{\mu\alpha}$ . Lo importante aquí es que se trata de una identidad , por lo que se mantiene incluso si no impone las ecuaciones de vacío de Einstein.

G^{μ ν} = 0

$G^{\mu\nu}=0$ . el tensor

G^{μ ν}

$G^{\mu\nu}$ tiene dos derivadas de la métrica en ella. Pero si

G^{0 ν}

$G^{0\nu}$ Si aparecieran dos derivadas temporales , no habría forma de satisfacer la identidad de Bianchi porque ningún otro término de la identidad tiene tres derivadas temporales actuando sobre la métrica. Esto significa

G^{0 ν}

$G^{0\nu}$ no son ecuaciones de evolución: involucran solo una derivada temporal de las variables dinámicas y, por lo tanto, son restricciones de valor inicial. Entonces eso mata 4 grados de libertad, y matas 4 más por la fijación del indicador. Así es como obtienes el

10 - 4 - 4 = 2

$10-4-4=2$ grados de libertad en la relatividad general.

Y con respecto a su segunda pregunta, sí, la relatividad general describe los dos grados de libertad de una partícula de espín-2 sin masa.

Entonces en GR, 4 condiciones de coordenadas cancelan 4 dof de $g_{\mu\nu}$ , y $0-0$ , $0-i$ componentes de $G_{\mu\nu}=0$ son 4 restricciones, por lo que pueden cancelar otros 4 dof Por lo tanto, solo $2=10-4-4$ dof quedan.
@ user34669 Correcto, y en realidad creo que importa en este caso si los índices están hacia arriba o hacia abajo, es decir $G^{00}$ y $G^{0i}$ son las ecuaciones que desea observar para obtener las restricciones.

Trimok · Answer 2

Es interesante observar una versión linealizada de la gravedad, con $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$

Si elige el calibre Lorentz:

\begin{matrix} (0) & \partial^{m} {\bar{h}}_{m v} = 0 {\bar{h}}_{m v} = h_{m v} - \frac{1}{2} h_{i}^{i} η_{m v} \end{matrix}

$\partial^\mu \bar h_{\mu\nu}=0 \quad\quad \bar h_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} h^i_i \,\eta_{\mu\nu} \tag{0}$ las ecuaciones de movimiento en el vacío son simplemente:

\begin{matrix} (1) & ◻ {\bar{h}}_{m v} = 0 \end{matrix}

$\square \bar h_{\mu\nu}=0 \tag{1}$

El calibre Lorentz mata $4$ grados de libertad. Además, existe una libertad de calibre residual compatible con el calibre de Lorentz, podemos considerar la transformación:

\begin{matrix} (2) & h_{m v} \to h_{m v} + \partial_{m} ξ_{v} + \partial_{v} ξ_{m} ◻ ξ_{m} = 0 \end{matrix}

$h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu+ \partial_\nu \xi_\mu \quad\quad \square \xi_\mu = 0\tag{2}$ En términos de

{\bar{h}}_{μ ν}

$\bar h_{\mu\nu}$ , esto da :

\begin{matrix} (3) & {\bar{h}}_{m v} \to {\bar{h}}_{m v} + \partial_{m} ξ_{v} + \partial_{v} ξ_{m} - (\partial^{i} ξ_{i}) η_{m v} \end{matrix}

$\bar h_{\mu\nu} \to \bar h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu+ \partial_\nu \xi_\mu - (\partial^i \xi_i) \eta_{\mu\nu} \tag{3}$

Es fácil ver que esta transformación es compatible con el calibre Lorentz, y tienes absoluta libertad en el $\xi_\mu$ , por lo que mata $4$ otros grados de libertad.

Finalmente, obtendrás $10-4-4=2$ grados de libertad.

Entonces, como dijiste, la libertad de calibre 4 puede cancelar 8 dof de $g_{\mu\nu}$ ?
Tienes $4$ dof eliminado por el calibre Lorentz, pero hay una "libertad de calibre residual" compatible con el calibre Lorentz, que mata $4$ otros dof

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