¿Es compatible la descripción del campo gravitatorio como un campo vectorial y un campo tensorial?

En la mecánica newtoniana, la gravedad no consta de un solo vector, hay otro vector asociado a la gravedad.

La gravedad convencional es en realidad una teoría estática de la gravitación y el campo asociado con ella se denota por$\mathbf{g}$, o algunas veces$\mathbf{E}_g$en una analogía con la electrostática. El otro vector se llama campo gravitomagnético y se denota por$\mathbf{B}_g$, sin embargo, lo denotaré por$\mathbf{\Gamma}$para evitar confusiones con el electromagnetismo. Entonces, en caso estático

Ahora, introduzcamos una densidad de corriente de masa ,$\mathbf{J_g}$, tal que satisface la ecuación de continuidad:

el vector,$\mathbf{\Gamma}$, representa los grados de libertad de rotación en la gravedad y es útil si está trabajando con órbitas. Por ejemplo, la solución para el campo gravitacional ecuatorial de un satélite puntual que orbita alrededor de un planeta en rotación sería la siguiente:

De hecho, para obtener las ecuaciones análogas completas al electromagnetismo que son de naturaleza relativista, necesitamos introducir una velocidad finita para la interacción gravitatoria, como en las ondas electromagnéticas. Sin embargo, en la mecánica newtoniana no existe tal velocidad. Entonces,

En cuanto al potencial,$g_{\mu\nu}$, las consideraciones anteriores coinciden completamente si tomamos el tensor de torsión,$T_{\mu\nu}^a$, junto con el tensor de curvatura,$R_{\mu\nu\beta}^\beta$, por ser análogo a$\mathbf{g}$y$\mathbf{\Gamma}$. El componente tiempo-tiempo de la métrica es análogo al potencial escalar gravitatorio,$\phi$, y los componentes de 3 columnas de la métrica,$g_{i0}$, son análogas al potencial vectorial,$\mathbf{A}_g$, donde el rizo de este último es$\mathbf{\Gamma}=\nabla \times \mathbf{A}_g$.

En realidad, el resto de la métrica son otros grados de libertad que no se mencionan en la gravedad newtoniana pero que juegan un papel importante en la polarización del campo gravitacional que consiste en comportamientos de marea (esa es la razón por la que se supone que el gravitón hipotético es espín). 2 en gravedad cuántica). La forma más natural de expresar la gravedad en términos de sus potenciales y sus aspectos geométricos y teóricos de calibre es usar la notación de tétrada (o Cartan) donde en lugar de la métrica, se usa la llamada "raíz cuadrada de la métrico",$e_\mu^a$, tal que$g_{\mu \nu} = e_\mu^a e_{a\nu}$. Tendría 4 copias de las ecuaciones similares al electromagnetismo, pero 6 de ellas serían calibradas debido a la invariancia de traducción de la teoría.

La métrica es en realidad análoga al potencial gravitatorio newtoniano, no al campo gravitacional. El número de grados de libertad no coincide, porque en la gravedad newtoniana no hay ondas gravitatorias.

En primer lugar, la diferencia entre la descripción de la gravedad de Newton y Einstein va más allá de simplemente representar uno como un vector y el otro como un tensor. La relatividad general introduce un concepto radicalmente diferente, que una partícula se moverá a lo largo de geodésicas de una variedad, cuya curvatura está determinada por la tensión-energía de la materia presente.

Contrasta esto con la descripción de Newton, en la que el campo$\vec g$actúa directamente sobre la partícula. Los dos enfoques son diferentes y válidos en diferentes regímenes. Lo importante no es que las matemáticas de cada uno sean equivalentes en el límite newtoniano, sino más bien que las predicciones físicas lo sean.

En relatividad general, el límite newtoniano correspondería a velocidades mucho menores que la velocidad de la luz, es decir,

y eso$g_{\mu\nu}$es estático. En tal límite, se puede demostrar que la ecuación geodésica es$\ddot x^i = \frac12 \partial_i h_{00}$dónde$h_{\mu\nu}$es la perturbación de primer orden de un fondo plano. Esto corresponde a,

para$h_{00} = \phi$, donde podemos interpretar$\phi$como el potencial newtoniano.

El tensor métrico de gravedad $g_{\mu\nu} (x)$es en realidad el cuadrado del vector $e_\mu^I(x)$:

El campo vectorial newtoniano$\vec{g}(x)$que mencionaste es el gradiente del componente cero-cero de$e_\mu^I$vector,

Y FYI, los campos electromagnéticos$\vec{E}(x)$y$\vec{B}(x)$son partes del bivector de curvatura/intensidad de campo (dos formas)$F_{\mu\nu}(x)$, bajo el disfraz de vectores. El campo de conexión de calibre$A_{\mu}(x)$es el vector verdadero (forma única).