Polarización de gravitones en dimensiones superiores

No es difícil ver que el gravitón en D dimensiones del espacio-tiempo tiene ( D − 3 ) D / 2 polarizaciones. En D = 4 hay dos ϵ m v ± . Lo que me parece curioso es que en D = 4 en realidad puedo elegir ϵ m v ± = ϵ m ± ϵ v ± dónde ϵ m ± son las dos polarizaciones (de elicidad definida ± 1 ) para una partícula de spin-1 sin masa como el fotón. En una dimensión superior, esto no parece posible ya que el fotón tiene D − 2 polarizaciones para que el número ( D − 2 ) ( D − 1 ) / 2 de ϵ m λ ϵ m λ ′ pares no coincide con el número ( D − 3 ) D / 2 de la polarización del gravitón. Bueno, a menos que de alguna manera considere solo un subconjunto más pequeño de ellos, digamos agregar una restricción o eliminar uno de ellos

( D − 2 ) ( D − 1 ) / 2 − 1 = ( D − 3 ) D / 2
como en D = 4 dónde ϵ m + ϵ m − se descarta al tener cero elicidad.

¿Existe una construcción análoga para ϵ m v λ en términos de las polarizaciones de spin-1 ϵ m σ en dimensiones superiores? Sospecho que algo similar puede suceder solo si también involucro polarizaciones de mayor elicidad.

Lo siento, debería haber un signo de valor absoluto: | ( D − 3 ) D / 2 | . ¡Porque el número de polarizaciones resulta ser negativo en el caso de D=2 (gravedad bidimensional)!
@BastamTajik no hay un signo absoluto, como en D ≤ 3 no hay polarización física y, de hecho, no hay gravitón en propagación. La fórmula es válida para las dimensiones en las que tiene sentido hablar de las polarizaciones del gravitón, es decir, para D ≥ 4 .

Respuestas (1)

En mi humilde opinión, el uso actual de la palabra helicidades ocurre solo cuando uno está mirando alguna representación de S tu ( 2 ) .

1) Ahora bien, un primer punto de vista es tratar de volver a las representaciones de ⊗ norte S tu ( 2 ) , al trabajar con representaciones de S O ( D − 2 ) . En el mejor de los casos, tendrás diferentes tipos de "helicidades".

Supongamos que trabajamos con D = 6 , así que gira- 1 partículas sin masa están en la representación fundamental de S O ( 4 ) , que escribo 4 . En el término de S tu ( 2 ) ⊗ S tu ( 2 ) representaciones, esto da: 4 → ( 2 , 2 )

[aquí escribo el número de estados en las representaciones]

Entonces, multiplicando las representaciones de fotones da 4 × 4 → ( 2 , 2 ) × ( 2 , 2 ) = ( 3 , 3 ) + ( 1 , 3 ) + ( 3 , 1 ) + ( 1 , 1 )

( 3 , 3 ) es la representación simétrica sin rastro del gravitón que estamos buscando, con 9 = 6 ( 6 − 3 ) 2

Así que aquí los fotones tienen "helicidades" ( ± 1 , ± 1 ) , mientras que los gravitones tienen "helicidades" ( 0 ± 1 , 0 ± 1 )

Los estados de gravitones podrían escribirse a partir de estados de fotones, por ejemplo:

( + 1 , + 1 ) = ( + 1 , + 1 ) ( + 1 , + 1 )

( − 1 , − 1 ) = ( − 1 , − 1 ) ( − 1 , − 1 )

( + 1 , − 1 ) = ( + 1 , − 1 ) ( + 1 , − 1 )

( − 1 , + 1 ) = ( − 1 , + 1 ) ( − 1 , + 1 )

( + 1 , 0 ) = 1 2 [ ( + 1 , + 1 ) ( + 1 , − 1 ) + ( + 1 , − 1 ) ( + 1 , + 1 ) ]

( 0 , 0 ) = 1 2 [ ( + 1 , − 1 ) ( + 1 , − 1 ) + ( + 1 , − 1 ) ( − 1 , + 1 ) + ( − 1 , + 1 ) ( + 1 , − 1 ) + ( − 1 , + 1 ) ( − 1 , + 1 ) ]

etcétera.

2) Un segundo punto de vista es trabajar directamente con las representaciones de S O ( D − 2 )

Usemos esta herramienta en línea del grupo Lie (francés) (Université de Poitiers). Elegir D 3 ( S O ( 6 ) ) , "Descomposición del producto tensorial" (luego "continuar"). escribamos ( 1 , 0 , 0 ) × ( 1 , 0 , 0 ) , (luego "comenzar"), y obtienes ( 2 , 0 , 0 ) + ( 0 , 1 , 1 ) + ( 0 , 0 , 0 ) . Aquí estamos trabajando con índices de Dynkin.

Entonces ( 2 , 0 , 0 ) es la representación sin traza simétrica del gravitón, y también es el estado de mayor peso de la representación. Puede obtener los otros estados de la representación restando con las raíces simples que puede obtener directamente de la matriz de Cartan de D 3 = S O ( 6 ) = S tu ( 4 ) (son las rectas de la matriz de Cartan) hasta que no quede ningún número positivo. Aquí las raíces simples son ( 2 , − 1 , 0 ) , ( − 1 , 2 , − 1 ) , ( 0 , − 1 , 2 ) . Entonces, por ejemplo, restando la primera raíz, obtienes el estado ( 2 , 0 , 0 ) − ( 2 , − 1 , 0 ) = ( 0 , 1 , 0 ) , etcétera.

Entonces, cada estado de los gravitones (o fotones) podría representarse por 3 enteros, por lo que es una forma alternativa de clasificar los estados en una representación dada.

gracias por la respuesta clara y esclarecedora. Debo decir que todavía estoy un poco confundido por la palabra elicidad. En D = 4 está asociado a la representación de S O ( 2 ) = tu ( 1 ) y no de S tu ( 2 ) . Veo que estas seleccionando el abeliano tu ( 1 ) subgrupo de los S tu ( 2 ) como definición de elicidad, ¿por qué es así? En el caso de D = 4 esto está bien ya que los estados aniquilan la parte restante del pequeño grupo, I S O ( 2 ) , bajo el cual el tu ( 1 ) en invariante por la izquierda. Además, el grupito no es sólo S O ( D − 2 ) . El resto debe ser aniquilado análogamente a D = 4 para evitar un continuo de estados?
En realidad, la mejor definición de helicidad probablemente se da al referirse a un solo S O ( 2 ) subgrupo dentro del pequeño grupo, el que sobrevive cuando soltamos las dimensiones extra. Básicamente estoy pensando en hacer una reducción dimensional. Ah, probablemente falta un factor de 2 en su definición donde el fotón tiene helicidad ( ± 1 , ± 1 ) el gravitón tendría ( 0 ± 2 , 0 ± 2 ) . De todos modos, según su ejemplo, parece que el gravitón estará siempre en la combinación simétrica sin rastro, ya que desde D − 2 polarizaciones de fotones obtendríamos el deseado ( D − 2 ) ( D − 1 ) / 2 − 1 = D ( D − 3 ) / 2 , ¿No?
... y todavía estoy confundido. Hago una reducción dimensional de un 6 D -gravitón h m v a D = 4 Obtengo 1 gravitón, 2 vectores sin masa y 3 escalares que son 9 grados de libertad como se esperaba. Así que me gustaría ver qué S O ( 2 ) adentro S O ( 4 ) da esa asignación de helicidad 2 + 2 × 2 + 1 + 1 + 1 .
Quizá no sea buena idea extender el concepto de helicidad a otras dimensiones que no sean D = 4 ... Aquí solo consideré un índice de un estado en una representación dada de S tu ( 2 ) (Si hay 2 estados, hay 2 "hélices"). Sí, I S O ( 2 ) es todo el grupo de simetría, y S O ( 2 ) es el grupo de simetría física (la parte de traslación corresponde a la simetría de calibre). Sí, el gravitón está siempre en la representación simétrica sin rastro de S O ( D − 2 ) . La reducción dimensional está bien, pero es otro proceso. Su pregunta original era más sobre cómo construir estados de gravitones a partir de estados de fotones.
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