¿Cómo aplicar las reglas de Feynman de contratérminos para calcular amplitudes?

Heurísticamente, los contratérminos también son infinitos y están diseñados para cancelar los infinitos de la amplitud simple. La forma en que se eligen estos valores depende de su elección de regulador y esquema de resta, pero se mantiene el mismo principio general: en lugar de los parámetros básicos no físicos que usamos cuando hicimos nuestro primer intento de escribir el Lagrangiano, queremos "actualizarlos" a describir el mundo real. Escribiré el correlador renormalizado con los contratérminos en un bucle en una forma un poco más motivadora:

$$\frac{1}{p^{2}-m^{2}}i \left(I\left(-p^{2}\right) +(p^2\delta_Z+\delta_m)\right)\frac{1}{p^{2}-m^{2}}$$

(Estoy jugando un poco rápido y suelto con los signos frente a los contratérminos, espero que eso no haga mucha diferencia). Ahora$I(-p^2)$tendrá la forma general

$$I(-p^2) = \text{Finite}+p^2D_1(\tilde{r})+D_2(\tilde{r}),$$ dónde$\tilde{r}$es la variable reguladora, y las dos divergencias$D_i$son formalmente infinitas en el límite del regulador.

Sin embargo, puede ver que a través de una elección inteligente de$\delta_Z$, podemos eliminar la$p^2$infinito (renormalizarlo, por así decirlo), y lo mismo para$\delta_m$y$D_2$- esto se hace haciendo que los contratérminos también dependan de la variable reguladora. Entonces, al modificar los parámetros en el Lagrangiano, hemos hecho finita la corrección (observable) de un bucle a la función de 2 puntos:$I(-p^2) = \text{Finite}$.

Este material puede ser un poco desalentador la primera vez que lo vea, así que haré un ejemplo concreto. La amplitud de 1 bucle para el sin masa$\phi^3$la teoría es

$$\Sigma(-p^2)=-\frac{g^2}{32\pi^2}\ln\frac{-p^2}{\Lambda^2},$$

[de Schwartz, cap. 16] donde, en lugar de la regularización dimensional (que generalmente se emplea aquí, un poco más poderosa, pero un poco complicada de trabajar) hemos usado el regulador de Pauli-Villars, que introduce un escalar ficticio que tiene masa$\Lambda$que está diseñado para ser llevado al infinito. La constante de acoplamiento$g$en$\phi^3$la teoría es un poco molesta porque no es adimensional, por lo que definir$\tilde{g} = \frac{g^2}{-p^2}$implica

$$\Sigma(-p^2)=p^2\frac{\tilde{g}^2}{32\pi^2}\ln\frac{-p^2}{\Lambda^2}.$$

Insertar esto en los rendimientos de expansión 1PI completos

$$\langle \phi\phi\rangle = \frac{i}{p^2-m^2} + \frac{i}{p^2-m^2}\left(-i\Sigma-i\delta_m+ip^2\delta_Z\right)\frac{i}{p^2-m^2} + \ \dots$$

donde el$\dots$representan términos de orden superior. Esta es solo una serie geométrica, entonces:

$$\langle \phi\phi\rangle = \frac{i}{p^2-m^2-\Sigma-\delta_m+p^2\delta_Z} = \frac{i}{p^2-m^2-(\Sigma+\delta_m-p^2\delta_Z)}$$

Como hay una divergencia en un factor multiplicativo de$p^2$($D_1$en nuestra notación anterior), tomando$\delta_m$como 0 y$\delta_Z$ser, decir,$\frac{\tilde{g}^2}{32\pi^2}\ln\frac{f^2}{\Lambda^2}$, entonces

$$\Sigma+\delta_m-p^2\delta_Z = p^2\frac{\tilde{g}^2}{32\pi^2}\ln\frac{-p^2}{\Lambda^2} + 0 - p^2\frac{\tilde{g}^2}{32\pi^2}\ln\frac{f^2}{\Lambda^2} \\ = p^2\frac{\tilde{g}^2}{32\pi^2}\ln\frac{-p^2}{f^2}$$

(debido a las propiedades del logaritmo) dando como resultado un correlador finito. Naturalmente, no hay renormalización del término de masa en este caso, sino que se extiende a masiva$\phi^3$establecerá un sistema simple de ecuaciones para determinar$\delta_Z$y$\delta_m$simultáneamente.