Transformaciones de Lorentz Vs Transformaciones de coordenadas

Un difeomorpismo general no es una isometría. O más bien, se puede convertir en una isometría. Considere variedades suaves$M$y$N$, con métricas$g$y$h$. Dejar$\phi:M\rightarrow N$ser un difeo. Nosotros decimos eso$\phi$es una isometría si$g=\phi^*h$.

Pero ahora, olvidémonos de$h$. Lo definimos en cambio como

Entonces$(M,g)$y$(N,h)$son automáticamente isométricos como espacios (semi-)riemannianos.

Dicho esto, considere$(M,g)$ser el espacio-tiempo de Minkowski. Dejar$\phi:M\rightarrow M$ser un difeo. Dejar$X,Y$ser campos vectoriales. Evidentemente , es cierto que

No. En general no es cierto. Aquellas transformaciones por las que$\phi^*g=g$en el espacio-tiempo de Minkowski son transformaciones de Poincaré. Las lineales (homogéneas) son transformaciones de Lorentz. Esto concluye mi respuesta, pero aquí hay un aparte (con suerte) esclarecedor.

Aunque esto es en un contexto ligeramente diferente, aquí hay un ejemplo, donde la diferencia entre isometrías o transformaciones generales invertibles y que preservan la estructura marcan la diferencia:

Considere la geometría lorentziana local utilizando marcos locales (posiblemente anholonómicos). ¿Cuál es la información mínima necesaria para dar exactamente la geometría local?

Para marcos de coordenadas: Los componentes métricos$g_{\mu\nu}$.

Para marcos completamente generales: Los componentes métricos$g_{ab}$, y la relación entre cualquier marco de coordenadas y el marco general, que es$e^\mu_a$o$\theta^a_\mu$($\theta^a=\theta^a_\mu dx^\mu$,$e_a=e^\mu_a\partial_\mu$).

Para marcos ortonormales: La relación entre cualquier marco de coordenadas y el marco ortonormal. ¿Por qué? Porque si$\theta^a_\mu$se da, entonces$g_{\mu\nu}=\eta_{ab}\theta^a_\mu\theta^b_\nu$.

Entonces puede ver que a pesar del hecho de que todos los marcos son solo herramientas y no tienen relevancia física/geométrica, y por lo tanto todos los marcos son igualmente buenos, especificar un marco y exigir que sea ortonormal en realidad da una métrica . Hay un contenido de información valioso en el hecho de que un marco sea ortonormal, y esta información se pierde si usamos un marco general.

Por supuesto, podemos expresar esta noción en el lenguaje de la transformación al señalar que, dado un marco inicial, se puede construir un sistema de marcos ortonormales exigiendo que dos marcos válidos difieran en una transformación de Lorentz:$e_{a'}=\Lambda^a_{\ a'}e_a.$Entonces, a pesar del hecho de que cualquier$GL(n,\mathbb{R})$La transformación valorada es una buena transformación de marco, las transformaciones valoradas por Lorentz son especiales. Un sistema de marcos para el que se permiten las transformaciones de Lorentz solo especifica una métrica de forma única. La declaración asociada en la geometría diferencial invariante moderna sería que cualquier reducción del paquete de marcos$F(M)$'s$GL(n,\mathbb{R})$en un grupo ortogonal generalizado produce únicamente una métrica semirriemanniana.

Estás, supongo, hablando de relatividad especial. En ese caso, la geometrización más natural es postular que el espacio-tiempo$\mathcal{S}$es un espacio afín real de dimensión 4 con una forma cuadrática de firma$(+,-,-,-)$. Todo a continuación, entre los que destacan dos aspectos fundamentales a estudiar:

• el grupo$\mathcal{P}$de transformadas afines que dejan invariante la forma cuadrática (llamado grupo de Poincaré por los físicos);
• hay una familia infinita de marcos donde la forma cuadrática tiene una matriz$\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$. Cualquiera de estos dos marcos se mapean entre sí por un elemento de$\mathcal{P}$.

El primer punto es sobre lo que los físicos llamarían una transformada activa, mientras que el segundo se llamaría una transformada pasiva.

Usted preguntó acerca de las transformaciones de Lorentz: como siempre para un grupo de transformaciones afines,$\mathcal{P}$es el producto semidirecto del subgrupo de traslaciones y de un grupo$\mathcal{L}$de transformadas lineales en el espacio vectorial$S$asociado con$\mathcal{S}$. Entonces$\mathcal{L}$se llama el grupo de Lorentz.

Tenga en cuenta, para terminar, si no era totalmente obvio, que esto es totalmente similar a la geometría e isometrías euclidianas afines: la única diferencia es la firma de la forma cuadrática, que es definida positiva, y por supuesto que la dimensión es 3 y no 4.

En primer lugar: no todas las transformaciones de coordenadas conservan la métrica. Como un ejemplo simple, considere$\mathbb R^2$transformado bajo

Las transformaciones de Lorentz son el análogo directo de la métrica de Minkowski: hay muchas transformaciones que no la respetan (como las transformaciones del marco de Galileo, que se ven exactamente como$(1)$arriba) y un conjunto restringido de transformaciones "buenas" que respetan la métrica. El conjunto de este último es, por definición, el conjunto de transformaciones de Lorentz, y es una herramienta tan crucial como lo son las transformaciones ortogonales para el estudio del espacio euclidiano.

Mirando su pregunta, supongo que tengo una respuesta simple. Si dos observadores están en un tipo específico de marco de coordenadas (cartesiano polar ... etc.) y quieren saber la posición y la velocidad del momento de la energía, entonces usarán lorentz transforme para averiguar la posición del otro, la velocidad, la energía, el impulso. Pero si un observador está en un marco cartesiano y el otro está en polar, entonces también deben tomar la transformación de coordenadas de polar a cartesiano o viceversa. A menudo confundimos entre el marco de coordenadas y la referencia. Marco. Hay una diferencia sutil. Marco de coordenadas como el sistema cilíndrico polar cartesiano. Pero el marco de referencia es el marco de los observadores. Podemos cuantificar el marco de referencia usando cualquier tipo de marco de coordenadas.

Lo que está olvidando es que en el espacio-tiempo de Minkowski , hay una especie de coordenadas especiales, las llamadas coordenadas del observador o coordenadas normales en geometría diferencial y podemos demostrar que existe una correspondencia uno a uno entre estas coordenadas y una inercial. observador. El punto aquí es tener conciencia de que los componentes de los tensores en estas coordenadas especiales, son iguales a lo que mide el observador asociado a estas coordenadas. Así que cambiar estas coordenadas especiales es lo mismo que cambiar de observador .

Como ejemplo supongamos$F=F_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$es el tensor electromagnético en una de estas coordenadas especiales asociado con algún observador$O$. Entonces sabemos que por ejemplo$E_1=F_{11}$es la primera componente del campo eléctrico. Si cambiamos de coordenadas tenemos$F=F_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=F'_{\mu \nu}dx'^{\mu}dx'^{\nu}$. Ahora si$F'_{\mu \nu}$obtenido por la transformación de coordenadas de Lorentz sabemos que otro observador$O'$asociado a estas coordenadas, medirá la primera componente del campo eléctrico como$E'=F'_{1 1}$.

Entonces, en lugar de usar toda la maquinaria de la geometría diferencial, los físicos usan este enfoque de coordenadas que es más fácil.