Geodésica nula única entre dos puntos

No, no es. Incluso en la métrica de Schwartzschild, por ejemplo, dados dos puntos que solo difieren en la coordenada de tiempo, puede encontrar fácilmente dos geodésicas, una es la rotación alrededor del BH y la otra tiene una velocidad inicial que apunta hacia afuera.

Es cierto que las ecuaciones geodésicas tienen una y solo una solución para un "dato inicial" dado, pero cuando dices$p$y$q$solo está tomando coordenadas, no velocidades, por lo tanto, no está estableciendo las "condiciones de límite" adecuadas

La ecuación geodésica es de segundo orden, por lo que necesita una posición inicial y una primera derivada inicial para obtener una solución única. Si tiene una posición inicial y final, puede obtener una solución única si las dos posiciones están muy cerca una de la otra, en la práctica, cuando puede ignorar los efectos de la curvatura. En otras palabras, aproxima el espacio-tiempo localmente como un espacio-tiempo plano para que pueda unir dos eventos por una geodésica única.

Para algunas variedades como la esfera, esto no es posible en absoluto. Incluso si dos Puntos están muy juntos, siempre hay al menos dos geodésicas que los conectan.

Dados dos puntos en un espacio-tiempo lorentziano$p, q\in M$, generalmente no habrá una geodésica nula que conecte los dos puntos. Una geodésica nula sólo existirá de$q$es un elemento del cono de luz de$p$,$L_p$.

En un barrio suficientemente pequeño de$p$,$L_p$es en realidad un cono, y para cualquier$q\in L_p$dentro de este barrio la geodésica nula que conecta$p$y$q$será único. Sin embargo, más lejos de$p$es posible que$L_p$auto-intersecciones. Estas intersecciones se conocen como las "cáusticas" de$p$. Si$q$se encuentra en estas cáusticas, entonces hay dos (o más) geodésicas nulas que conectan$p$y$q$.

En casos especiales es incluso posible que existan$p$y$q$para el cual hay infinitas geodésicas nulas que conectan$p$y$q$. Como un ejemplo fácil, considere el espacio-tiempo lorentziano$\mathbb{R}\times S^2$(con la métrica de Lorentizan obvia). Por simetría es fácil ver que si$p$y$q$están en los polos opuestos de la$S^2$y$q\in L_p$, entonces hay infinitas geodésicas nulas que conectan$p$y$q$.

En general, sin embargo, tenga en cuenta que dado que los cáusticos de$p$son autointersecciones de$L_p$, la forma a lo sumo un subconjunto cero de medida de$L_p$. Por lo tanto, para un punto genérico$q\in L_p$habrá una conexión geodésica única$p$y$q$.