Geodésicas nulas en línea recta en Minkowski, De Sitter y Schwarzschild

Question

Geodésicas nulas en línea recta en Minkowski, De Sitter y Schwarzschild

Wooster

Estoy tratando de entender qué parte de la siguiente métrica determina si los fotones viajan en una línea "recta" (pensando en $(t,r,\theta,\phi)$ como un fondo plano), la métrica que estoy considerando es:

d s^{2} = - F (r) d t^{2} + F (r)^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2}

$ds^2 = -F(r)dt^2 + F(r)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2$

En el caso Minkowski ( $F = 1$ ) es fácil ver que las geodésicas viajan en línea recta porque podemos transformarlas en coordenadas cartesianas y ver esto de inmediato.

Mi dificultad está en entender la distinción entre el espacio "de Sitter" ( $F(r) = 1 - r^2$ ) y "Schwarzschild" ( $F(r) = 1 - \frac{1}{r}$ ). En estos dos casos el $\phi$ La ecuación de movimiento es la misma:

2 r \dot{r} \dot{ϕ} + r^{2} \ddot{ϕ} = 0

$2r\dot{r}\dot{\phi} + r^2 \ddot{\phi} = 0$

Entonces, por la unicidad de las soluciones a las EDO, parece que si $\phi = 0$ y $\dot{\phi}=0$ inicialmente entonces $\phi=0$ para todo s (siendo s el parámetro geodésico). (Después de todo, este es el mismo argumento habitual para restringir al plano ecuatorial cuando nuestra métrica es esféricamente simétrica, ¿verdad?)

Así que ahora estoy luchando por entender cómo la naturaleza de $F$ nos dice si las geodésicas nulas son rectas; en el caso de De Sitter entiendo que los fotones deberían viajar en línea recta y en el caso de Schwarzschild claramente no (por ejemplo, lentes gravitacionales).

levitafero

Debe resolver la órbita para determinar si un objeto se mueve "en línea recta". Para el caso que especifique (velocidad inicial cero en el

ϕ

$\phi$ dirección), obtendrá un movimiento en línea recta de todos modos (aunque

r = 0

$r=0$ ).

levitafero

¿posible respuesta? física.stackexchange.com/q/205125

Wooster

@levitopher Gracias por su comentario, claro, en ese caso pasarán directamente por el origen. Solo estaba escribiendo esa ecuación realmente como un ejemplo de que estas dos métricas tienen las mismas ecuaciones de movimiento (excepto en la dirección r) y donde es la diferencia que conduce a órbitas no rectas. La respuesta vinculada realmente no responde la pregunta; realmente me gustaría ver un argumento que provenga directamente de las ecuaciones geodésicas. Soy consciente del diagrama conforme para el espacio de De Sitter. Gracias

levitafero

Vale, pero la respuesta viene de las diferencias en la ecuación de movimiento radial. Creo que lo mejor que puedes hacer es resolver las ecuaciones geodésicas para una función genérica

F

$F$ , y observe que necesitará derivar de esa función. Diferentes funciones, diferentes derivadas. De hecho, la página de wikipedia casi te muestra exactamente lo que quiero decir: en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics , baja a "Derivación matemática de la ecuación de la órbita" y compara con lo que tienes.

Wooster

Bien gracias. Todavía estoy luchando por ver cómo podemos mostrar que las geodésicas viajan en línea recta en el caso de De Sitter, ¿conoces los detalles de eso?

prahar

¿Cuál es la definición de línea recta aquí?

Wooster

@Prahar Como en la primera línea de la pregunta, estoy pensando en

(t, r, θ, ϕ)

$(t,r,\theta, \phi)$ como coordenadas planas de "fondo", por lo que una línea recta escribe esas coordenadas.

prahar

@Wooster - Está bien. ¿Por qué no resuelves la ecuación geodésica en el

(t, r, θ, ϕ)

$(t,r,\theta,\phi)$ coordenadas y ver si obtiene o no una línea recta. PD: esta no parece ser una buena pregunta invariante de coordenadas. No hay física en esta respuesta. ¿Por qué necesitas responder esta pregunta?

Wooster

Gracias por tu comentario. Bueno, yo estaba interesado en comprender esta distinción entre Schwarzschild y De Sitter y mostrar que las geodésicas son líneas rectas no es inmediatamente obvio a partir de las ecuaciones geodésicas. No estoy seguro de que el hecho de que algo no sea invariante coordinado hace que no sea física.

prahar

Bueno, no lo quiso decir así. Es solo que su definición de línea recta parece ser muy poco física. De todos modos, ¿qué quieres decir con que no es obvio si las geodésicas son líneas rectas o no? Puede suponer que lo son y comprobar si se cumplen las ecuaciones geodésicas. Si no lo son, entonces las geodésicas no son rectas. Esta es una simple prueba.

Wooster

@Prahar He agregado una respuesta de lo que tenía en mente. No es del todo trivial y medianamente interesante obtener una restricción general en

F

$F$ pero estoy de acuerdo en que, en última instancia, solo se trata de resolver las ecuaciones geodésicas y supongo que si se trata de líneas rectas o no en esta configuración bastante artificial, ¡no es una pregunta físicamente interesante!

Respuestas (2)

Geodésicas nulas en línea recta en Minkowski, De Sitter y Schwarzschild

Debe resolver la órbita para determinar si un objeto se mueve "en línea recta". Para el caso que especifique (velocidad inicial cero en el $\phi$ dirección), obtendrá un movimiento en línea recta de todos modos (aunque $r=0$ ).
@levitopher Gracias por su comentario, claro, en ese caso pasarán directamente por el origen. Solo estaba escribiendo esa ecuación realmente como un ejemplo de que estas dos métricas tienen las mismas ecuaciones de movimiento (excepto en la dirección r) y donde es la diferencia que conduce a órbitas no rectas. La respuesta vinculada realmente no responde la pregunta; realmente me gustaría ver un argumento que provenga directamente de las ecuaciones geodésicas. Soy consciente del diagrama conforme para el espacio de De Sitter. Gracias
Vale, pero la respuesta viene de las diferencias en la ecuación de movimiento radial. Creo que lo mejor que puedes hacer es resolver las ecuaciones geodésicas para una función genérica $F$ , y observe que necesitará derivar de esa función. Diferentes funciones, diferentes derivadas. De hecho, la página de wikipedia casi te muestra exactamente lo que quiero decir: en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics , baja a "Derivación matemática de la ecuación de la órbita" y compara con lo que tienes.
Bien gracias. Todavía estoy luchando por ver cómo podemos mostrar que las geodésicas viajan en línea recta en el caso de De Sitter, ¿conoces los detalles de eso?
@Prahar Como en la primera línea de la pregunta, estoy pensando en $(t,r,\theta, \phi)$ como coordenadas planas de "fondo", por lo que una línea recta escribe esas coordenadas.
@Wooster - Está bien. ¿Por qué no resuelves la ecuación geodésica en el $(t,r,\theta,\phi)$ coordenadas y ver si obtiene o no una línea recta. PD: esta no parece ser una buena pregunta invariante de coordenadas. No hay física en esta respuesta. ¿Por qué necesitas responder esta pregunta?
Gracias por tu comentario. Bueno, yo estaba interesado en comprender esta distinción entre Schwarzschild y De Sitter y mostrar que las geodésicas son líneas rectas no es inmediatamente obvio a partir de las ecuaciones geodésicas. No estoy seguro de que el hecho de que algo no sea invariante coordinado hace que no sea física.
Bueno, no lo quiso decir así. Es solo que su definición de línea recta parece ser muy poco física. De todos modos, ¿qué quieres decir con que no es obvio si las geodésicas son líneas rectas o no? Puede suponer que lo son y comprobar si se cumplen las ecuaciones geodésicas. Si no lo son, entonces las geodésicas no son rectas. Esta es una simple prueba.
@Prahar He agregado una respuesta de lo que tenía en mente. No es del todo trivial y medianamente interesante obtener una restricción general en $F$ pero estoy de acuerdo en que, en última instancia, solo se trata de resolver las ecuaciones geodésicas y supongo que si se trata de líneas rectas o no en esta configuración bastante artificial, ¡no es una pregunta físicamente interesante!

Wooster · Answer 1

Podemos escribir el Lagrangiano para este problema con general $F$ : (restringido al plano ecuatorial)

L = - F (r) {\dot{t}}^{2} + F (r)^{- 1} {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2}

$L = -F(r)\dot{t}^2 + F(r)^{-1}\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2$

Ahora usando las cantidades conservadas (energía y momento angular), y usando la sustitución conveniente $u = \frac{1}{r}$ y reescribiendo el problema como una ecuación diferencial para $u = u(\phi)$ encontramos lo siguiente:

\frac{d^{2} tu}{d ϕ^{2}} + \frac{{tu}^{2}}{2} F^{'} (tu) + tu F (tu) = 0

$\frac{d^2u}{d\phi^2} + \frac{u^2}{2}F'(u) + uF(u) = 0$

Ahora, por simetría rotacional, solo necesitamos considerar soluciones en línea recta $u = k \cos \phi$ para alguna constante k y sustituyendo esto en nuestro problema encontramos que tenemos soluciones en línea recta si y solo si $F$ satisface la ecuación diferencial:

F^{'} (tu) + 2 F (tu) - 2 = 0

$F'(u) + 2F(u) - 2 = 0$

En particular, esto es cierto para el caso De Sitter pero no para el caso Schwarzschild. (Por supuesto, también tenemos la restricción de que $F$ debe ser tal que la métrica resuelva la ecuación de Einstein y creo que estos son los únicos dos casos no triviales)

levitafero · Answer 2

Calcular las ecuaciones geodésicas en algo como De Sitter no es difícil, pero ya se ha hecho, así que las vincularé. Por ejemplo, encontré una tesis de alguien llamado Chris Ripkin:

http://www.ru.nl/publish/pages/760966/thesis_chris_ripken.pdf

Vaya al capítulo 3, "Geodésicas". Dado que De Sitter es máximamente simétrica, las geodésicas tendrán coordenadas angulares constantes. Puede verificar la coordenada radial en el enlace, pero estos son caminos radiales rectos.

Supongo que el problema con lo que estás tratando de hacer (determinar cómo la naturaleza de $F$ caracteriza a las geodésicas) es que no estás considerando la razón $F$ tiene la forma específica que lo hace. Las ecuaciones de Einstein para DeSitter son

R_{m v} = Λ {gramo}_{m v}

$R_{\mu\nu}=\Lambda g_{\mu\nu}$ (universo vacío con constante cosmológica). Además, cuando encontramos la métrica, establecemos la constante de integración

M = 0

$M=0$ . Para Schwarzschild, asumimos una constante cosmológica cero y una constante de integración distinta de cero

M

$M$ . Ok, comenzamos con la misma forma para la métrica, pero estas dos opciones te dan dos geometrías muy diferentes.

Entonces, debido a que es máximamente simétrico, ¿es suficiente mostrar que la geodésica a través del origen es recta?

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levitafero

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