Geodésicas de Schwarzschild

Question

Geodésicas de Schwarzschild

Cerveza inglesa

Encontré en Wikipedia que la energía $E$ y momento angular $L$ de una partícula son cantidades conservadas en la métrica de Schwarzschild. Esta escrito:

L = metro r^{2} \frac{d ϕ}{d τ},

$L=mr^2 \frac {d\phi} {d\tau},$

mi = metro C^{2} (1 - \frac{r_{s}}{r}) \frac{d t}{d τ} .

$E=mc^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\frac{dt}{d\tau}.$

Y, a partir de la métrica, encuentra estos resultados:

{(\frac{d ϕ}{d τ})}^{2} = \frac{L^{2}}{{metro}^{2} r^{4}}

$\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^2=\frac{L^2}{m^2r^4}$

{(\frac{d r}{d τ})}^{2} = \frac{{mi}^{2}}{{metro}^{2} C^{2}} - (1 - \frac{r_{s}}{r}) (C^{2} + \frac{L^{2}}{{metro}^{2} r^{2}}) .

$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=\frac{E^2}{m^2c^2}-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{L^2}{m^2r^2}\right).$

{(\frac{d t}{d τ})}^{2} = \frac{mi}{(1 - \frac{r_{s}}{r}) metro C^{2}}

$\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2=\frac{E}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)mc^2}$

Lo que necesito es obtener los resultados, incluidos también los $\theta$ coordinar. Así que probé esto:

{pag}_{ϕ} = metro r^{2} \frac{d ϕ}{d τ} {pag}_{θ} = metro r^{2} \frac{d θ}{d τ}

$p_\phi=mr^2 \frac {d\phi} {d\tau}\qquad\qquad p_\theta=mr^2 \frac {d\theta} {d\tau}$

L^{2} = {pag}_{θ}^{2} + {pecado}^{2} θ {pag}_{ϕ}^{2} .

$L^2=p_\theta^2 + \sin^2\theta\ p_\phi^2.$

$E$ ¿es el mismo?

{(\frac{d ϕ}{d τ})}^{2} = \frac{{pag}_{ϕ}^{2}}{{metro}^{2} r^{4}} {(\frac{d θ}{d τ})}^{2} = \frac{{pag}_{θ}^{2}}{{metro}^{2} r^{4}} .

$\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^2=\frac{p_\phi^2}{m^2r^4}\qquad\qquad \left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2=\frac{p_\theta^2}{m^2r^4}.$

$\frac{dr}{d\tau}$ ¿es el mismo?

$\frac{dt}{d\tau}$ ¿es el mismo?

Pero no estoy seguro. Sin embargo, ¿es posible obtener un resultado similar agregando el $\theta$ ¿coordinar?

PD: Soy un principiante en GR, por lo que no sé muchas cosas al respecto.

bruce decano

En el análisis de Schwarzschild

θ

$\theta$ normalmente se toma como una constante, digamos

π / 2

$\pi/2$ , y luego se analiza el movimiento en el plano ecuatorial en función del ángulo longitudinal,

φ

$\varphi$ . Esto es suficiente para analizar la curvatura de la luz y la precesión del periastro. Si

θ

$\theta$ no es constante, entonces el propio plano orbital tiene precesión, con una inclinación desde el eje z dada por

θ

$\theta$ . ¿Estás seguro de que esto es lo que quieres analizar? Si es así, ¿por qué?

Cerveza inglesa

Estoy desarrollando una aplicación 3D que simula el movimiento alrededor de un agujero negro, por lo que necesito tener un

θ

$\theta$ coordinar, creo...

qmecanico

Hola usuario2108312. Bienvenido a Phys.SE. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.

Cerveza inglesa

He leído. Entonces, ¿es esta una pregunta de tarea?

Respuestas (2)

Geodésicas de Schwarzschild

En el análisis de Schwarzschild $\theta$ normalmente se toma como una constante, digamos $\pi/2$ , y luego se analiza el movimiento en el plano ecuatorial en función del ángulo longitudinal, $\varphi$ . Esto es suficiente para analizar la curvatura de la luz y la precesión del periastro. Si $\theta$ no es constante, entonces el propio plano orbital tiene precesión, con una inclinación desde el eje z dada por $\theta$ . ¿Estás seguro de que esto es lo que quieres analizar? Si es así, ¿por qué?
Estoy desarrollando una aplicación 3D que simula el movimiento alrededor de un agujero negro, por lo que necesito tener un $\theta$ coordinar, creo...
Hola usuario2108312. Bienvenido a Phys.SE. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.

mimo · Answer 1

Gire las coordenadas para reducir su problema al tratamiento 'estándar' con $\theta$ constante, resuélvelo y luego gira nuevamente las coordenadas para obtener la solución en el sistema original.

La órbita está en el plano identificado por la posición ( $\vec r$ ) y velocidad ( $\vec v$ ) vectores. Este plano debe rotarse para que se convierta en el $xy$ avión. El vector normal al plano de la órbita es $\hat n = (\vec r \times \vec v) / (rv)$ , que debe girarse para convertirse en el $z$ eje - por lo que el eje de rotación es $\hat n \times \hat z$ y el ángulo de rotación es $\arccos(\hat n \cdot \hat z)$

... ver respuesta ampliada: no hice el trabajo completo, pero debería haber suficiente para que pueda comenzar

Rogers · Answer 2

Lo que realmente quieres son dos secciones de wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Mathematical_derivations_of_the_orbital_equation https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics#Orbits_of_test_particles

Puede ser difícil durante un tiempo, pero comprenderlos evitará errores graves. Tal que yo (y otros) hemos hecho.

Creo que es apropiada alguna ampliación de la pregunta.
Una pregunta más correcta sería:
1) Dada una descripción matemática de una situación física, ¿podemos encontrar invariantes para ciertos tipos de órbitas/trayectorias/historias?
es decir, en el caso: ¿Cuáles son las invariantes de las trayectorias/órbitas geodésicas en la métrica de Schwarzschild? Por cierto, un punto fijo con "tiempo" (el tiempo no es una coordenada fija para diferentes sistemas de coordenadas) ya que la única variable no es una geodésica.
Entonces:
2) ¿Podemos identificar estos invariantes con la conservación de la energía y el momento?

La primera parte se responde con un Teorema/construcción/prueba; dentro de la física matemática, ¡no es un hecho! Aunque en nuestra experiencia física limitada, la conservación de la energía y el momento angular han demostrado ser verdaderas y útiles; en física matemática deben ser reprobados para situaciones separadas.
Que yo sepa, las preguntas están sin resolver para situaciones generales en GR.

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