Geometría de anillo unidimensional - Grupo de Traducciones

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Geometría de anillo unidimensional - Grupo de Traducciones

usuario35952

Consideré una geometría unidimensional similar a un anillo. En esto, si fijamos un origen (en algún punto de la circunferencia), podemos pensar en un conjunto de todos los desplazamientos a lo largo de la circunferencia para formar un espacio vectorial . Ahora un vector puede ser denotado por (por algunas razones que quedarán claras),

(\begin{array}{ccc} X \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} x \\ 1 \end{array} \right)$ Además, se puede obtener cualquier otro vector en el espacio traduciendo el vector, digamos

x_{0} \to x_{0} + a

$x_0 \rightarrow x_0+a$ . Podemos usar la transformación lineal:

T (a) = (\begin{array}{cc} 0 & a \\ 0 & 0 \end{array})

$T(a) = \left( \begin{array}{cc} 0 & a \\ 0 & 0\end{array} \right)$ tal que

(\begin{array}{ccc} X + a \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} X \\ 1 \end{array}) + T (a) (\begin{array}{ccc} X \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} x + a \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x \\ 1 \end{array} \right)+ T(a)\left( \begin{array}{ccc} x \\ 1 \end{array} \right)$ Ahora el conjunto de todas esas transformaciones lineales formará un grupo.

La parte más importante de esta transformación es que, si la circunferencia del anillo es algo $L$ , entonces la transformación $T(nL)$ dónde $n \in \mathbb Z$ no debe cambiar el vector. Matemáticamente,

T (norte L) (\begin{array}{ccc} X_{0} \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} X_{0} \\ 1 \end{array})

$T(nL) \left( \begin{array}{ccc} x_0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} x_0 \\ 1 \end{array} \right)$

Ahora mi pregunta es, con estas definiciones el grupo de Traducciones es compacto ? ¿Y si es el generador de las traslaciones, tendrá algunas propiedades como los momentos angulares (aunque este es un generador de traslaciones)?

PD: Espero no estar hablando de rotaciones. Solo estoy hablando de traslaciones a lo largo de la circunferencia del círculo.

Dilatón

Esta es una pregunta de física técnica perfectamente legítima. ¿Cuál es el punto de la votación cerrada? Debo decir que es bastante preocupante que cada vez más preguntas legítimas de este tipo y similares de personas que están seriamente interesadas en estudiar física a nivel técnico parecen no ser bienvenidas aquí...

kyle kanos

Relacionado por OP: math.stackexchange.com/q/667502

joshfísica

@Dilaton El voto cerrado fue un voto de migración (a math.SE); Volví a leer la pregunta y descubrí que también pregunta sobre el momento angular hacia el final. Cerrar voto retractado (aunque no estoy completamente seguro de si debería considerarse principalmente una pregunta de matemáticas o no).

Dilatón

@joshphysics, la otra pregunta que Kyle Kanos vinculó tampoco debería haberse migrado. De hecho, 3 miembros de la comunidad lo sacaron de la cola de cierre diciendo dejar abierto, pero luego un mod lo migró de todos modos. Como le dije a Kyle Kanos, en mi humilde opinión, ya que en este y el otro caso no siempre es posible trazar una línea clara porque la física está escrita en el lenguaje de las matemáticas, explicar las leyes de conservación necesita la teoría de grupos, por ejemplo, y la más avanzada. teórico el tema, más matemáticas se necesitan para hablar técnicamente de él. Realmente me gustaría ver algo más de tolerancia hacia

joshfísica

@Dilaton Como alguien que respondió esa otra pregunta; Probablemente estoy de acuerdo en que debería haberse quedado aquí.

Dilatón

preguntas matemáticas sobre Physics SE a favor de personas interesadas en estudiar física a un nivel técnico serio. Solo recuerdo la pregunta 1+1+1 = -1/2 mucho más relevante en física, incluso Lubos Motl, que es un conocido experto en el tema, dijo que debería haberse quedado aquí. En Math SE, estas preguntas demasiado físicas son como un torbellino en el mejor de los casos, ya que la gente no está demasiado interesada en las cosas relacionadas con la física, además de que a menudo tienen una forma diferente a la de los físicos de ver estas cosas.

Respuestas (1)

Geometría de anillo unidimensional - Grupo de Traducciones

Esta es una pregunta de física técnica perfectamente legítima. ¿Cuál es el punto de la votación cerrada? Debo decir que es bastante preocupante que cada vez más preguntas legítimas de este tipo y similares de personas que están seriamente interesadas en estudiar física a nivel técnico parecen no ser bienvenidas aquí...
@Dilaton El voto cerrado fue un voto de migración (a math.SE); Volví a leer la pregunta y descubrí que también pregunta sobre el momento angular hacia el final. Cerrar voto retractado (aunque no estoy completamente seguro de si debería considerarse principalmente una pregunta de matemáticas o no).
@joshphysics, la otra pregunta que Kyle Kanos vinculó tampoco debería haberse migrado. De hecho, 3 miembros de la comunidad lo sacaron de la cola de cierre diciendo dejar abierto, pero luego un mod lo migró de todos modos. Como le dije a Kyle Kanos, en mi humilde opinión, ya que en este y el otro caso no siempre es posible trazar una línea clara porque la física está escrita en el lenguaje de las matemáticas, explicar las leyes de conservación necesita la teoría de grupos, por ejemplo, y la más avanzada. teórico el tema, más matemáticas se necesitan para hablar técnicamente de él. Realmente me gustaría ver algo más de tolerancia hacia
@Dilaton Como alguien que respondió esa otra pregunta; Probablemente estoy de acuerdo en que debería haberse quedado aquí.
preguntas matemáticas sobre Physics SE a favor de personas interesadas en estudiar física a un nivel técnico serio. Solo recuerdo la pregunta 1+1+1 = -1/2 mucho más relevante en física, incluso Lubos Motl, que es un conocido experto en el tema, dijo que debería haberse quedado aquí. En Math SE, estas preguntas demasiado físicas son como un torbellino en el mejor de los casos, ya que la gente no está demasiado interesada en las cosas relacionadas con la física, además de que a menudo tienen una forma diferente a la de los físicos de ver estas cosas.

Valter Moretti · Answer 1

En primer lugar, trato de reafirmar su pregunta en una forma más clara.

Considerar $\mathbb R$ equipado con la relación de equivalencia:

$x \sim y$ si y solo si $x-y= 2k\pi$ con $k \in \mathbb Z$ .

El espacio ${\mathbb R}/ \sim$ de clases de equivalencia $[x]$ es $\mathbb S^1$ también como un espacio topológico usando la topología del cociente.

A continuación, considere las acciones estándar del grupo de traducciones de Lie $\mathbb R$ en la línea real $\mathbb R$ :

T (a) X := X + a \forall X, a \in R,

$T(a)x:=x+a\quad \forall x,a \in \mathbb R\:,$

y definir la representación del grupo de traducción en $\mathbb S^1$ como

T' (a) [X] := [T (a) X] \forall X, a \in R . (1)

$T′(a)[x]:=[T(a)x]\:\forall x,a \in \mathbb R\:. \quad (1)$

El mapa $\mathbb R\ni a \mapsto T′(a)$ es de hecho una representación del grupo de traducción en $\mathbb S^1$ en términos de isometrías del círculo (cuando está equipado con la métrica estándar). En particular, uno tiene $T'(0)= id$ y $T'(a)T'(b)= T'(a+b)$ .

Sin embargo, todo eso no tiene nada que ver con la compacidad (¡falso!) del grupo de traducción, incluso si el procedimiento descrito da lugar a una representación de ese grupo de Lie (no compacto) en una variedad compacta, en términos de isometrías de esa variedad.

Pasemos finalmente a la relación con el grupo de rotaciones de $\mathbb R^2$ : $SO(2) \equiv U(1)$ .

Como $\mathbb R$ es la cubierta universal de $U(1)$ , con homomorfismo de cobertura (grupo de Lie sobreyectivo):

π : R^{1} ∋ a \mapsto {mi}^{i a} \in tu (1), (2)

$\pi : \mathbb R^1 \ni a \mapsto e^{ia} \in U(1)\:,\qquad (2)$ cada representación del grupo de $\mathbb R^2$ rotaciones $U(1)$ es también una representación del grupo de las traducciones $\mathbb R$ .

identificando $\mathbb S^1$ con $U(1)$ en la forma estándar, la acción natural (representación) de $U(1)$ en el círculo es trivialmente

R ({mi}^{i a}) {mi}^{i X} = {mi}^{i (a + X)} (3)

$R(e^{ia}) e^{ix} = e^{i(a+x)} \qquad (3)$

donde el primero $e^{ia}$ es visto como un elemento del grupo $U(1)\equiv SO(2)$ y los otros dos son vistos como elementos del círculo $U(1) \equiv \mathbb S^1$ .

La interacción de $T', R$ y $\pi$ , como se prueba fácilmente es:

R (π (a)) = T^{'} (a) \forall a \in R . (4)

$R(\pi(a))= T'(a)\quad \forall a \in \mathbb R\:.\qquad (4)$

Esto está de acuerdo con el comentario anterior de que los representantes de $SO(2)$ también son representantes de $\mathbb R$ .

Así, de hecho, no es posible distinguir entre la acción de $\mathbb R$ y el de $SO(2)$ en el círculo $\mathbb S^1$ , aunque son grupos diferentes y sólo el último es compacto (y en cierto modo relacionado con la componente del momento angular ortogonal a $\mathbb R^2$ .)

Realmente aprecio tu respuesta. Pero recién estoy comenzando a aprender Lie Algebra (y soy estudiante de Física). Aunque entiendo el quid de su respuesta, no puedo entender los detalles matemáticos.
También estoy interesado en entender cómo encontrar la compacidad de un Grupo
Hola, si recién estás comenzando a aprender estas cosas, tal vez tu pregunta sea demasiado complicada, ya que necesita una respuesta técnica como viste. sin embargo, también soy físico (incluido mi doctorado). En cuanto a la compacidad, la historia es fácil. Casi todos los grupos interesantes en física teórica son grupos de matrices, por lo que son subconjuntos de $\mathbb R^{n^2}$ con $n$ lo suficientemente grande. La topología y la estructura diferenciable son las inducidas por $\mathbb R^{n^2}$ . Como en $\mathbb R^N$ los conjuntos compactos son todos conjuntos acotados cerrados, solo debe verificar estas dos condiciones.
Ah, OK !! Gracias, pero inventé la pregunta por curiosidad. Pensando más, ¿no debería haber una conexión similar a $SO(3)$ y $U(2)$ (Entonces es eso lo que nos da estas partículas de medio espín.
Entonces, por ejemplo $U(n)$ puede ser visto como un subconjunto de $\mathbb R^{(2n)^2}$ . Es un subconjunto cerrado de ese espacio porque incluye sus puntos límite (si $A_kA_k^\dagger =I$ y $A_k \to A$ en $\mathbb R^{(2n)^2}$ entonces $AA^\dagger =I$ ). También es compacto porque está acotado: Si $U \in U(n)$ entonces $|U_{rs}|^2 \leq \sum_{i} ( \sum_{j}U_{ij}U_{ij}^*) = \sum_{i} \delta_{ii} = n$ .
Sobre $SO(3)$ y $U(2)$ , sí, existe la conexión que piensas y conduce a los dos tipos de representaciones del giro. Vea mi respuesta (lo siento, bastante técnica) a physics.stackexchange.com/questions/96569/…
Gracias !! cualquier sugerencia de aprender Lie Groups y Algebra con una ligera inclinación matemática.
¿Puedo generalizar considerando una hiperesfera en N-dimensiones? ¿Puede haber una conexión entre los grupos U(N) y SO(N+1)? Si no, ¿cuál es el límite de N (o condición) para que se rompa?
Una condición necesaria es que los dos grupos tengan la misma dimensión que las variedades reales (es decir, la misma dimensión de las respectivas álgebras de Lie). $SU(N)$ es un grupo de Lie con dimensión real $N^2-1$ , $SO(N+1)$ es un grupo de Lie con dimensión real $((N+1)^2-(N+1))/2$ . Coinciden por $N=2$ solo. De hecho $SU(2)$ y $SO(3)$ son localmente idénticos.
Con respecto a U(N) y SO(N+1) en cambio, el álgebra de mentira de U(N) tiene dimensión $N^2$ . Entonces coinciden para $N=1$ solo. De hecho $SO(2)$ y $U(1)$ son isomorfos.

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