¿Dónde viven L+L+L_+ y L−L−L_-, sino en so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Question

¿Dónde viven L+L+L_+ y L−L−L_-, sino en so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Física
mentira-álgebra
teoría de grupos
momento angular
representaciones de grupo

usuario35952

Esta pregunta es continuación de la publicación anterior . El álgebra de la mentira de $\mathfrak{so(3)}$ es álgebra de Lie real y por lo tanto, $L_{\pm} = L_1 \pm i L_2$ no perteneces a $\mathfrak{so(3)}$ .

Sin embargo, al construir una representación para $\mathfrak{so(3)}$ , uno usa estos operadores y los toma como endomorfismos (operadores) definidos en algún espacio vectorial $V$ . Dejar $\left|lm \right> \in V$ ,entonces

L_{3} | yo metro ⟩ = metro | yo metro ⟩ L_{\pm} | yo metro ⟩ = C_{\pm} | yo (metro \pm 1) ⟩

$L_3\left|lm \right> = m \left|lm \right> \;\;\;\;\; L_{\pm}\left|lm \right> = C_{\pm}\left|l(m\pm1) \right>$

Ahora bien, ¿cómo justificamos estas dos cosas? Si $L_{\pm} \notin \mathfrak{so(3)}$ , entonces ¿ cómo es posible este tipo de construcción de la representación ?

Creo que es similar en el caso de $\mathfrak{su(n)}$ álgebras, donde el grupo es semi simple y el álgebra se define sobre un LVS real.

Nikolaj-K

Podría estar malinterpretando algo aquí, así que permítanme plantear un punto: sin juzgar si los operadores mienten o no en el álgebra, ¿por qué surge su pregunta de todos modos? En mi oído, suena similar a "Quiero estudiar las propiedades de las derivadas consecutivas y la gente usa álgebra abstracta para hacerlo. ¿Cómo se justifica eso?" ¿Por qué no? si estudias como

a \mapsto e^{i ϕ} a

$a\mapsto\mathrm{e}^{i\phi}a$ Afecta elementos de

C

$\mathbb C$ , ¿hay alguna razón por la que restringirías tu estudio exigiendo no usar conjugaciones complejas en

C

$\mathbb C$ ?

Valter Moretti

Lo siento, no entiendo por qué.

L_{\pm} | l m ⟩ = C_{\pm} | l (m \pm 1) ⟩

$L_\pm |l \:m \rangle = C_\pm |l\: (m\pm 1)\rangle$ debería exigir que

L_{\pm}

$L_\pm$ pertenece a una representación del álgebra de Lie (real) de

s o (3)

$so(3)$ o

s u (2)

$su(2)$ .

usuario35952

@V.Moretti: ¡Yo tampoco! Pero no puedo convencerme de que si no pertenecen a esto, ¿cómo puedo usarlos en la construcción de la representación?

usuario35952

@ NiftyKitty95: Gracias por ese punto, aunque tu analogía aún no me ha afectado. Reflexionaré de nuevo con esto.

usuario35952

Bien, ¿significa que cuando construyo una representación de este álgebra usando su operación en un espacio vectorial lineal (LVS), solo unos pocos operadores legítimos en este LVS pertenecen al álgebra y no todos los operadores definidos sobre el LVS?

Nikolaj-K

@ user35952: Mi punto es, por ejemplo, si estudias la multiplicación del número

7

$7$ por el numero

5

$5$ en

N

$\mathbb N$ , no hay razón para escribir esto como

7 \mapsto (1 - 2 i) 7 \bar{(1 - 2 i)}

$7\mapsto(1-2i)\,7\,\overline{(1-2i)}$ , si crees que es útil.

Valter Moretti

¡Por supuesto! Por lo general, la representación se construye sobre un espacio vectorial complejo

H

$H$ , entonces el álgebra de operadores sobre ese espacio

L (H)

$L(H)$ tiene una estructura compleja natural. Sin embargo, la representación de un álgebra de Lie (real) se define sólo en un subespacio real de

L (H)

$L(H)$ .

usuario35952

@NiftyKitty95: Sí, ahora entiendo lo que quieres decir, ¡y creo que Moretti lo ha dejado claro!

usuario35952

@ V.Moretti: Además, es el subespacio invariante de

V

$V$ , el espacio sobre el que se definen los Operadores de Casimiro del álgebra de Lie ?

Valter Moretti

Si

V

$V$ es irreducible además de ser invariante, es un espacio propio de los operadores de Casimir, de hecho.

Respuestas (1)

¿Dónde viven L+L+L_+ y L−L−L_-, sino en so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Podría estar malinterpretando algo aquí, así que permítanme plantear un punto: sin juzgar si los operadores mienten o no en el álgebra, ¿por qué surge su pregunta de todos modos? En mi oído, suena similar a "Quiero estudiar las propiedades de las derivadas consecutivas y la gente usa álgebra abstracta para hacerlo. ¿Cómo se justifica eso?" ¿Por qué no? si estudias como $a\mapsto\mathrm{e}^{i\phi}a$ Afecta elementos de $\mathbb C$ , ¿hay alguna razón por la que restringirías tu estudio exigiendo no usar conjugaciones complejas en $\mathbb C$ ?
Lo siento, no entiendo por qué. $L_\pm |l \:m \rangle = C_\pm |l\: (m\pm 1)\rangle$ debería exigir que $L_\pm$ pertenece a una representación del álgebra de Lie (real) de $so(3)$ o $su(2)$ .
@V.Moretti: ¡Yo tampoco! Pero no puedo convencerme de que si no pertenecen a esto, ¿cómo puedo usarlos en la construcción de la representación?
@ NiftyKitty95: Gracias por ese punto, aunque tu analogía aún no me ha afectado. Reflexionaré de nuevo con esto.
Bien, ¿significa que cuando construyo una representación de este álgebra usando su operación en un espacio vectorial lineal (LVS), solo unos pocos operadores legítimos en este LVS pertenecen al álgebra y no todos los operadores definidos sobre el LVS?
@ user35952: Mi punto es, por ejemplo, si estudias la multiplicación del número $7$ por el numero $5$ en $\mathbb N$ , no hay razón para escribir esto como $7\mapsto(1-2i)\,7\,\overline{(1-2i)}$ , si crees que es útil.
¡Por supuesto! Por lo general, la representación se construye sobre un espacio vectorial complejo $H$ , entonces el álgebra de operadores sobre ese espacio $L(H)$ tiene una estructura compleja natural. Sin embargo, la representación de un álgebra de Lie (real) se define sólo en un subespacio real de $L(H)$ .
@NiftyKitty95: Sí, ahora entiendo lo que quieres decir, ¡y creo que Moretti lo ha dejado claro!
@ V.Moretti: Además, es el subespacio invariante de $V$ , el espacio sobre el que se definen los Operadores de Casimiro del álgebra de Lie ?
Si $V$ es irreducible además de ser invariante, es un espacio propio de los operadores de Casimir, de hecho.

ZeroTheHero · Answer 1

no mienten en $\mathfrak{so}(3)$ pero mienten en su complejización, que sería $A_1$ en la clasificación matemática habitual. Gran parte de la teoría de la representación de Lie se configura de esta manera: se trabaja en el nivel de complejización y luego se vuelve a la forma real. Para grupos compactos no es gran cosa; para grupos no compactos se necesita un cuidado extra.

así que mientras $L_{\pm}$ no tienen sentido como elementos de $\mathfrak{so}(3)$ , tienen sentido en la complejización. Puede volver a $\mathfrak{so}(3)$ mediante el uso $L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-)$ y $L_2=\frac{1}{2i}(L_+-L_-)$ . (Cuidado: la base donde $L_0$ Esta diagonal es una combinación compleja de los vectores de base real.)

¿Dónde viven L+L+L_+ y L−L−L_-, sino en so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

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