¿Cómo evaluar esta suma de coeficientes de acoplamiento?

Question

¿Cómo evaluar esta suma de coeficientes de acoplamiento?

Física
mentira-álgebra
teoría de grupos
nivel de investigación
momento angular
mecánica cuántica

okj

Me gustaría evaluar la siguiente suma de símbolos Clebsch-Gordan y Wigner 6-j en forma cerrada:

\sum_{yo, metro} C_{{yo}_{2}, {metro}_{2}, {yo}_{1}, {metro}_{1}}^{yo, metro} C_{λ_{2}, m_{2}, λ_{1}, m_{1}}^{yo, metro} {\begin{array}{ccc} yo & {yo}_{2} & {yo}_{1} \\ norte / 2 & norte / 2 & norte / 2 \end{array}} {\begin{array}{ccc} yo & λ_{2} & λ_{1} \\ norte / 2 & norte / 2 & norte / 2 \end{array}}

$\sum_{l,m} C_{l_2,m_2,l_1,m_1}^{l,m} C_{\lambda_2,\mu_2,\lambda_1,\mu_1}^{l,m} \left\{ \begin{array}{ccc} l & l_2 & l_1 \\ n/2 & n/2 & n/2 \end{array}\right\} \left\{ \begin{array}{ccc} l & \lambda_2 & \lambda_1 \\ n/2 & n/2 & n/2 \end{array}\right\}$

con $n \in \left[0,\infty\right)$ , $l,l_1,l_2,\lambda_1,\lambda_2 \in \left[0,n\right]$ , $m \in \left[-l,l\right]$ , $m_1 \in \left[-l_1,l_1\right]$ , $m_2 \in \left[-l_2,l_2\right]$ , $\mu_1 \in \left[-\lambda_1,\lambda_1\right]$ y $\mu_2 \in \left[-\lambda_2,\lambda_2\right]$ . Todos los índices son enteros y n también debe ser par.

He estado usando el Libro de Varshalovich , pero no puedo encontrar ninguna identidad que haya sido útil para simplificar esto. Espero que el resultado sea algo como $\delta_{l_2,\lambda_2}\delta_{m_2,\mu_2}\delta_{l_1,\lambda_1}\delta_{m_1,\mu_1}$ , pero no estoy seguro de que ese sea el caso. ¿Alguna idea de cómo evaluar esto?

Vibert

Es

n

$n$ algún entero?

Miguel

Bueno, Mathematica tiene las funciones ClebschGordan y SixJSymbol, pero no puedo simplificar su expresión. Incluso evaluar casos simples me lleva mucho tiempo. Tal vez alguien con más conocimientos de Mathematica y/o combinatoria que yo pueda encontrar un truco.

okj

@Vibert:

n \geq 0

$n \geq 0$ es un entero par,

0 \leq l \leq n

$0 \leq l \leq n$ es un número entero, todos los demás índices toman valores enteros y sus límites se derivan de la definición de los coeficientes CG y los símbolos 6j. Perdón por no decir eso antes.

okj

Específicamente:

norte \in [0, \infty)

$n \in \left[0,\infty\right)$

yo, {yo}_{1}, {yo}_{2}, λ_{1}, λ_{2} \in [0, norte]

$l,l_1,l_2,\lambda_1,\lambda_2 \in \left[0,n\right]$

metro \in [- yo, yo]

$m \in \left[-l,l\right]$

{metro}_{1} \in [- {yo}_{1}, {yo}_{1}]

$m_1 \in \left[-l_1,l_1\right]$

{metro}_{2} \in [- {yo}_{2}, {yo}_{2}]

$m_2 \in \left[-l_2,l_2\right]$

m_{1} \in [- λ_{1}, λ_{1}]

$\mu_1 \in \left[-\lambda_1,\lambda_1\right]$

m_{2} \in [- λ_{2}, λ_{2}]

$\mu_2 \in \left[-\lambda_2,\lambda_2\right]$ (

n

$n$ es un entero par, todos los demás índices son enteros)

Respuestas (1)

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Bueno, Mathematica tiene las funciones ClebschGordan y SixJSymbol, pero no puedo simplificar su expresión. Incluso evaluar casos simples me lleva mucho tiempo. Tal vez alguien con más conocimientos de Mathematica y/o combinatoria que yo pueda encontrar un truco.
@Vibert: $n \geq 0$ es un entero par, $0 \leq l \leq n$ es un número entero, todos los demás índices toman valores enteros y sus límites se derivan de la definición de los coeficientes CG y los símbolos 6j. Perdón por no decir eso antes.
Específicamente: $norte \in [0, \infty)$ $n \in \left[0,\infty\right)$ $yo, {yo}_{1}, {yo}_{2}, λ_{1}, λ_{2} \in [0, norte]$ $l,l_1,l_2,\lambda_1,\lambda_2 \in \left[0,n\right]$ $metro \in [- yo, yo]$ $m \in \left[-l,l\right]$ ${metro}_{1} \in [- {yo}_{1}, {yo}_{1}]$ $m_1 \in \left[-l_1,l_1\right]$ ${metro}_{2} \in [- {yo}_{2}, {yo}_{2}]$ $m_2 \in \left[-l_2,l_2\right]$ $m_{1} \in [- λ_{1}, λ_{1}]$ $\mu_1 \in \left[-\lambda_1,\lambda_1\right]$ $m_{2} \in [- λ_{2}, λ_{2}]$ $\mu_2 \in \left[-\lambda_2,\lambda_2\right]$ ( $n$ es un entero par, todos los demás índices son enteros)

david horgan · Answer 1

Bueno, esto es bastante similar a los cálculos que he hecho para encontrar los espectros del operador de volumen geométrico cuántico en Loop Quantum Gravity. Dado que no creo que pueda encontrar una expresión analítica cerrada para esta suma. Sería razonablemente sencillo escribir una rutina numérica para calcular esto.

Aquí está el enlace a las rutinas matemáticas interactivas de Sage que escribí para calcular los espectros del operador. Probablemente podrías adaptarlo a tu propósito. Si desea alguna ayuda con esto, hágamelo saber.

http://wiki.sagemath.org/interact/Loop%20Quantum%20Gravity

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okj

Vibert

Miguel

okj

okj

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david horgan

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