Derivada covariante frente a derivada parcial (en el contexto de los vectores Killing)

En tu ecuación, no es$p$que es constante, pero el(los) componente(s) de$p$. Esta no es una declaración invariante de coordenadas porque las coordenadas en sí mismas están cambiando a medida que se mueve a través de la variedad, por lo que si los componentes de un campo vectorial/tensor cambian o no (y cómo lo hacen) no brinda ninguna información sobre si el cambios reales en el campo del vector/tensor o no.

En algunos casos (cuando su múltiple no está dotado de una métrica o conexión) ni siquiera es posible separar una tasa de cambio "verdadera" de la tasa de cambio "aparente".

Si es teóricamente posible hacerlo, eso significa que tiene una conexión$\nabla$.

En este caso, el cambio total de una cantidad se puede escribir simbólicamente como

$$dY=\nabla Y+\delta Y,$$ por alguna cantidad $Y$dónde $\nabla Y$es la tasa de cambio significativa "verdadera" o "física/geométricamente" y $\delta Y$es una tasa de cambio "aparente" debido a cómo se desplaza el sistema de coordenadas.

Al analizar las propiedades algebraicas de los operadores diferenciales de primer orden, uno puede darse cuenta de que$\delta$debe ser un operador diferencial de orden cero, por lo que esencialmente una transformación lineal puntual, que escribimos como$-\Gamma$. Entonces tenemos

$$\nabla Y=dY+\Gamma Y.$$

Esencialmente ahora he introducido la derivada covariante. El punto es que casi siempre$\nabla$que nos interesa, el hecho de que en algún sistema de coordenadas$p^\beta$podría ser constante no tiene ningún significado en absoluto. Si cambia a otro sistema de coordenadas, no será constante. Lo que le interesa es la derivada invariante de coordenadas que en este caso es

$$u^\alpha\nabla_\alpha p^\beta .$$

Creo que la respuesta de Uldreth ya ha dado los puntos clave.

Desafortunadamente, la respuesta de Bingo a su propia pregunta es incorrecta.$p^\beta$no es un escalar, es la componente de un vector. Esto se debe a que si hago una transformación de coordenadas,$p^\beta$cambiará con la fórmula habitual, pero un escalar no. Por lo tanto, la derivada covariante no se reduce a la derivada parcial en este caso.

El error esencial en la derivación de Bingo es adoptar la regla de la cadena "habitual". Este es un error comprensible que se debe a una notación sutil. En este contexto,$\frac{d}{d\tau}$significa "derivada direccional a lo largo de una geodésica" (como se indica en la referencia citada por el OP, Carroll página 136). Si$U^\mu$es la velocidad cuatro de una geodésica, entonces por definición:

$$\frac{d}{d\tau}=U^\mu \nabla_\mu$$ Esto es lo mismo que ha escrito el OP si el objeto sobre el que actúa es un escalar; no es en general sin embargo.

La confusión se puede evitar evitando esa notación. Como en Carroll, página 136, eq. (3.174) se puede afirmar simplemente que:

$$\nabla_{(\mu}K_{\nu)} = 0 \implies U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$ (Carroll en realidad usa $p^\mu=mU^\mu$, pero no importa) Es decir, si $K_{\nu}$está matando, entonces $K_\nu U^\nu$es constante a lo largo de una geodésica.

Es de notar sin embargo que$K_\nu U^\nu$ es de hecho un escalar. Así que en este caso es cierto que

$$U^\mu \partial_\mu (K_\nu U^\nu)=U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$ Esto puede ayudar a aclarar la confusión del OP.

Ahora el OP también pregunta por qué estamos usando la derivada covariante y no otras nociones de derivada. En este caso, dado que nos preocupa que un escalar sea constante, podemos expresar la misma noción con la derivada de Lie, por ejemplo:

$$\mathcal{L}_U (K_\nu U^\nu) = U^\mu \partial_\mu (K_\nu U^\nu)=U^\mu \nabla_\mu (K_\nu U^\nu)=0$$

Sin embargo, en general, la noción de un objeto que permanece constante a lo largo de una curva viene dada por el transporte paralelo , que depende de la métrica. Carroll analiza el tema en la página 105. Esta es, en última instancia, la razón por la que, en general, necesitamos usar la derivada covariante. Sin embargo, si el objeto que está considerando es realmente un escalar, entonces los dos están de acuerdo y no hay problema.

La derivación alternativa dada parece no tener nada de malo . Después de todo, lo que empleó fueron técnicas estándar de cálculo (por ejemplo, la regla de la cadena). El conflicto se puede resolver fácilmente observando que definimos la acción de la derivada covariante en escalares (funciones) como la misma que la derivada parcial (pág. 96 de Sean Carroll o cualquier otro texto).

Un punto más sutil es que aquí,$p^{\beta}$se trata como un escalar (ver nuevamente Sean Carroll: pg 136) a pesar de su apariencia de índice tensorial. Estos dos puntos anteriores nos ayudan a llegar a la conclusión.$\nabla_{\alpha} p^{\beta}= \partial_\alpha p^{\beta}$.

La notación de Carroll es un poco diferente , ya que usa índices inferiores en lugar de índices superiores e inferiores.$\sigma_{\star}$en lugar de$\beta$. Básicamente, él está trabajando con$p_{\sigma_\star}$en lugar de$p^{\beta}$.

como puedo$p^{\beta}$ser tratado como un escalar? Aquí el significado de$p^{\beta}$es sutil. Significa lo siguiente. Elija un sistema de coordenadas que tenga al menos una coordenada$x_\beta$tal que$\partial_\beta g_{\mu \nu} = 0$. Ahora vamos a definir un escalar$S$cuyo valor es exactamente igual$p^{\beta}$. Entonces el valor de$S$no cambia wrt. un cambio de coordenadas. Cuando Sean Carroll usa$p_{\sigma_{\star}}$(o$p^{\beta}$en la pregunta anterior), quiere decir '$S$' como se definió anteriormente. Por eso introduce un extraño$\sigma_{\star}$índice (solo para significar que el sistema de coordenadas y la coordenada son fijos: el uno en el que la métrica no cambia).